知识点：《四色问题》 收集：滑饺沤 编辑：月季姐姐
本知识点包括：1、什么是“四色问题”？ 2、什么是四色定理 3、为什么地图只需四色即可染完 4、数学上所谓“四色问题”的研究 5、四色原理 。
《四色问题》相关知识
证明方法将地图上的无限种可能情况减少为1,936种状态（稍后减少为1,476种）,这些状态由计算机一个挨一个的进行检查.这一工作由不同的程序和计算机独立的进行了复检.在1996年,Neil Robertson、Daniel Sanders、Paul Seymour和Robin Thomas使用了一种类似的证明方法,检查了633种特殊的情况.这一新证明也使用了计算机,如果由人工来检查的话是不切实际的.
简易证明
四色定理：将平面任意地细分为不相重迭的区域,每一个区域总可以用1,2,3,4这四个数字之一来标记,而不会使相邻的两个区域得到相同的数字,即至多存在四个两两相邻的区域.
证明：
假设：任意多个相邻区域的组合区域中,不存在任何内部区域.
给定区域A、B,且A、B相邻,因为A、B间不存在内部区域,则A、B必然相交于一条曲线,曲线端点为a、b.外部两条为曲线aAb、aBb将相邻区域A,B围成一个组合区域,视为X.
任意第三个区域C与A、B两两相邻,则必然与X相邻,同理C与X只相交于曲线a1b1,产生曲线的端点为a1,b1.
若a1、b1同时在aAb或aBb其中一条曲线上,则有两种情况：
1、区域C只与A,B其中一个区域相交
2、区域C与其中一个区域的组合区域包含另一个区域,与假设矛盾.
所以a1,b1必然分别在aAb,aBb两条曲线上,则区域C必将与X相交于曲线a1a b1或a1b b1,即相交曲线包含a或b点.
令A、B、C三个区域组成的组合区域为Y.
任意区域D,与A、B、C三个区域两两相邻,如上图,则D必将与Y相邻,由上述证明可知,则D与Y的相交曲线必将至少包括a、a1、b1中的两点,无论是那两点,则D必将与A、B、C其中某两个区域包含第三个区域,即必将有一个区域成为内部区域,与假设矛盾.
即得出结论一,四个两两相邻的区域中至少有一个区域属于内部区域.
因为内部区域与外部区域无法相邻,所以不存在一个外部区域E,使得A、B、C、D、E五个区域两两相邻.（结论二）
假设,存在一个内部区域F,使得A、B、C、D、F五个区域两两相邻.
因为A、B、C、D、F中,至少有一个是外部区域.以A为例,A为外部区域,因为A与其他四个区域两两相邻,则A必然与四个区域分别相交于至少一条曲线.
若将A移除,则另外四个区域分别与A相交的曲线就与外界相通,即四个区域都变为外部区域,而四个区域又是两两相邻的,与结论一相悖.
即得出结论三,不存在一个内部区域F,使得A、B、C、D、F五个区域两两相邻.
因为平面中,除了内部区域都是外部区域,所以通过结论二和结论三得出结论四,即不存在一个区域G,使得A、B、C、D、G五个区域两两相邻.即至多存在四个两两相邻的区域.
四色定理得证!
注释：
内部区域：即完全包含于其它区域的区域.
外部区域：存在边际曲线不包含于任何其它区域的区域.
组合区域：有两个或多个区域共同覆盖的区域.
知识拓展：
1：海伦公式的证明方法是什么?
知识要点归纳：
用三角公式和公式变形来证明.
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,
则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2 则p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
2：初一证明完全平方式题证明16x²-8x+1是完全平方式
知识要点归纳：
16x²-8x+1
=(4x)²-2×4x×1+1²
=(4x-1)²
∴它是一个完全平方式
3：勾股定理的3种证明方法
知识要点归纳：
证法1】（梅文鼎证明）
作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED,
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,
∴ ∠BEG =180°―90°= 90°
又∵ AB = BE = EG = GA = c,
∴ ABEG是一个边长为c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°
即 ∠CBD= 90°
又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,
BC = BD = a.
∴ BDPC是一个边长为a的正方形.
同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S,则
,
∴ BDPC的面积也为S,HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2
【证法2】（项明达证明）
作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP‖BC,交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ,垂足为N.
∵ ∠BCA = 90°,QP‖BC,
∴ ∠MPC = 90°,
∵ BM⊥PQ,
∴ ∠BMP = 90°,
∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °,
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,
∴ ∠QBM = ∠ABC,
又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2
【证法3】（赵浩杰证明）
作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.
分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,
∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,
∴FI=a,
∴G,I,J在同一直线上,
∵CJ=CF=a,CB=CD=c,
∠CJB = ∠CFD = 90°,
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,
同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,
∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE
∴∠ABG = ∠BCJ,
∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,
∴∠ABG +∠CBJ= 90°,
∵∠ABC= 90°,
∴G,B,I,J在同一直线上,
所以a^2+b^2=c^2
【证法4】（欧几里得证明）
作三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结
BF、CD.过C作CL⊥DE,
交AB于点M,交DE于点L.
∵ AF = AC,AB = AD,
∠FAB = ∠GAD,
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,
∵ ΔFAB的面积等于,
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半,
∴ 矩形ADLM的面积 =.
同理可证,矩形MLEB的面积 =.
∵ 正方形ADEB的面积
= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积
∴ 即a的平方+b的平方=c的平方
【证法5】欧几里得的证法
《几何原本》中的证明
在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立.设△ABC为一直角三角形,其中A为直角.从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形.此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等.
在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等.（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半.任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积.任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）.证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形.
其证明如下：
设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB.其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH.画出过点A之BD、CE的平行线.此线将分别与BC和DE直角相交于K、L.分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA.∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H.∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC.因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC.因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD.因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC.因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2.同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2.把这两个结果相加,AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB^2 + AC^2= BC^2.此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的
4：【说明方法有哪些,如何表达它的作用】
知识要点归纳：
常见的说明方法 常见的说明方法有举例子、分类别、列数据、作比较、画图表、下定义、作诠释、打比方、摹状貌、引资料、作假设等11种.写说明文要根据说明对象的特点及写作目的,选用最佳方法.下面分别加以说明. （1）举例子(举例说明法) 举出实际事例来说明事物,使所要说明的事物具体化,以便读者理解,这种说明方法叫举例法. 例如《向沙漠进军》一文中,就举出了新疆和内蒙古沙荒区治沙成功的事例,说明“沙漠是可以征服的”. 运用举事例的说明方法说明事物或事理,一要注意例子的代表性,二要注意例子的适量性. （2）作引用(引用说明法) 为了使说明的内容更充实具体,可以引资料说明.引用一些文献资料、诗词、俗语、名人名言,可使说明更具说服力.引资料的范围很广,可以是经典著作,名家名言,公式定律,典故传说,谚语俗语,诗词句等.充当说明的内容或依据来说明、介绍事物. 例如《中国石拱桥》一文,就引用了唐朝张嘉贞的话,说明赵州桥的设计和施工巧妙绝伦. （3）作比较(比较说明法) 说明某些抽象的或者是人们比较陌生的事物,可以用具体的或者大家已经熟悉的事物和它比较,使读者通过比较得到具体而鲜明的印象.事物的特征也往往在比较中显现出来. 例如《雄伟的人民大会堂》一文中,为了说明宴会厅的建筑面积,作者运用了做比较的方法：“有五千个席位的宴会厅又是另一番景象.它的面积有七千平方米,比一个足球场还大,设计的精巧也是罕见的.” 在作比较的时候,可以是同类相比,也可以是异类相比,可以对事物进行“横比”,也可以对事物进行“纵比”. （4）列数字(数字说明法) 为了使所要说明的事物具体化,还可以采用列数据的方法,以便读者理解.需要注意的是,引用的数字,一定要准确无误,不准确的数字绝对不能用,即使是估计的数字,也要有可靠的根据,并力求近似. 例如《死海不死》一文中说明死海的长、宽、深的文字.《雄伟的人民大会堂》一文中,也用一系列数字来说明庄严的人民大会堂是首都最宏伟的建筑之一. （5）分类别(分类说明法) 要说明事物的特征,往往从单方面不易说清楚,可以根据形状、性质、成因、功用等属性的异同,把事物分成若干类,然后依照类别逐一加以说明.这种说明方法,叫分类别. 分类别是将复杂的事物说清楚的重要方法. 运用分类说明法,要按照一定的标准,对事物和事理的不同方面分别加以说明. （6）打比方 利用两种不同事物之间的相似之处作比较,以突出事物的性状特点,增强说明的形象性和生动性的说明方法叫做打比方. 说明文中的打比方的说明方法,同修辞格上的比喻是一致的.不同的是,比喻修辞有明喻、暗喻、和借喻,而说明多用明喻和暗喻,借喻则不宜使用. （7）摹状貌 为了使被说明对象更形象、具体,可以进行状貌摹写,这种说明方法叫摹状貌. （8）下定义(定义说明法) 用简明的语言对某一概念的本质特征作规定性的说明叫下定义.下定义能准确揭示事物的本质,是科技说明文常用的方法. 有时为了突出事物的主要内容和主要问题,往往用简明扼要的话给事物下定义,使读者对被说明对象有个明确的概念.例如《统筹方法》一文中,作者运用了下定义的说明方法,给统筹方法下定义：“统筹方法,是一种安排工作进程的数学方法.”语言简明、扼要、准确. 下定义的时候,可以根据说明的目的需要,从不同的角度考虑.有的着重说明特性,如关于“人”的定义；有的着重说明作用,如关于“肥料”的定义；有的既说明特性又说明作用,如关于“统筹方法”和“应用科学”的定义. （9）作诠释 从一个侧面,就事物的某一个特点做些解释,这种方法叫诠释法. 定义法和诠释法常采用“某某是什么”的语言形式.形式相同,如何区分呢?一般来说,“是”字两边的话能够互换,就是定义；如果不能互换,就是诠释. 例如,“人是能制造工具并使用工具进行劳动的高级动物”这句话,改成“能制造工具并使用工具进行劳动的高级动物是人”,意思不变.“雪是在云中形成的一种固态降水物”这句话,如果改为“云中形成的固态降水物是雪”就不成.由此可以辨别,前一句是定义说明,后一句是诠释说明. （10）画图表 为了把复杂的事物说清楚,还可以采用图表法,来弥补单用文字表达的缺欠,对有些事物解说更直接、更具体. 一篇说明文单用一种说明方法很少,往往综合运用多种说明方法.采用什么说明方法,一方面服从内容的需要,另一方面作者有选择的自由.是采用一种说明方法,还是采用多种说明方法,是采用这种说明方法,还是那种说明方法,可以灵活,不是一成不变的. （11）作假设 假设说明即用假定的环境来预设将出现的状况说明书事物的方法. 例如《太阳》中：“如果没有太阳,地球上将到处是黑暗,到处是寒冷,没有风霜雨露,没有草木野兽,自然也不会有人.”这就强调了太阳与人类的关系非常密切. 引用说明法：也叫引资料.引用一些文献资料、诗词、俗语、名人名言,可使说明更具说服力.例如《中国石拱桥》一文,就引用了唐朝张嘉贞的话,说明赵州桥的设计和施工巧妙绝伦.
5：【证全等三角形能用两种不同的方法证明同一个问题么.】
知识要点归纳：
能,可以用边角边,边边角,角角边,角边角等,证出即可.
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