知识点：《导数的定义》 收集：康痛非 编辑：杜鹃花妹子
本知识点包括：1、高数导数定义 2、高中数学中，导数主要有什么概念和意义？ 3、用导数定义求cosx的导数 4、请问x分之一的导数是什么？ 5、利用导数定义求y=1/x^2函数的导数 。
《导数的定义》相关知识
函数f(x)在x0附近有进有定义,(x0处可能没有定义,严格的说,存在ε>0,存在x,满足{x|0<|x-x0|<ε}包含于f(x)定义域)极限lim_{Δx→0} [f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx存在(设它等于A),则A就是函数f(x)在x0点处的导数.当然,对于x0∈D(设D为f(x)的定义域),存在唯一的A与之对应.故得到函数φ(x)=lim_{Δx→0} [f(x+Δx)-f(x)]/Δx.
φ(x)便是f(x)的导函数,记作f'(x)
知识拓展：
1：如何用导数定义求导
知识要点归纳：
导数
导数（derivative）亦名微商,由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念.又称变化率.如一辆汽车在10小时内走了 600千米,它的平均速度是60千米／小时,但在实际行驶过程中,是有快慢变化的,不都是60千米／小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况,可以缩短时间间隔,设汽车所在位置s与时间t的关系为s＝f（t）,那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)/t1-t0],当 t1与t0很接近时,汽车行驶的快慢变化就不会很大,平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 ,自然就把极限[f(t1)-f(t0)/t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度,这就是通常所说的速度.一般地,假设一元函数 y＝f(x )在 x0点的附近(x0－a ,x0 ＋a)内有定义,当自变量的增量Δx＝ x－x0→0时函数增量 Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导,称之为f在x0点的导数（或变化率).若函数f在区间I 的每一点都可导,便得到一个以I为定义域的新函数,记作 f′,称之为f的导函数,简称为导数.函数y＝f（x）在x0点的导数f′（x0）的几何意义：表示曲线l 在P0〔x0,f（x0）〕 点的切线斜率.
导数是微积分中的重要概念.导数定义为,当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续.不连续的函数一定不可导.
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示.如,导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性.
求导数的方法
[编辑本段]
（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：
① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
② 求平均变化率
③ 取极限,得导数.
（2）几种常见函数的导数公式：
① C'=0(C为常数)；
② (x^n)'=nx^(n-1) (n∈Q)；
③ (sinx)'=cosx；
④ (cosx)'=-sinx；
⑤ (e^x)'=e^x；
⑥ (a^x)'=a^xIna （ln为自然对数）
（3）导数的四则运算法则：
①(u±v)'=u'±v'
②(uv)'=u'v+uv'
③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2
（4）复合函数的导数
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则.
导数是微积分的一个重要的支柱!
导数公式及证明
[编辑本段]
这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:
1.y=c(c为常数) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』
2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
3.y=f(x)的反函数是x=g(y）,则有y'=1/x'
证：1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0.用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0.
2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况.在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明.
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β).
所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.
把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna.
可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x.
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因为当⊿x→0时,⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x.
可以知道,当a=e时有y=lnx y'=1/x.
这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了.因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1).
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6.类似地,可以导出y=cosx y'=-sinx.
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与
4.y=u土v,y'=u'土v'
5.y=uv,y=u'v+uv'
均能较快捷地求得结果.
对于y=x^n y'=nx^(n-1) ,y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法.
y=x^n
由指数函数定义可知,y>0
等式两边取自然对数
ln y=n*ln x
等式两边对x求导,注意y是y对x的复合函数
y' * (1/y)=n*(1/x)
y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1)
幂函数同理可证
2：【导数的概念是什么?】
知识要点归纳：
从图形上来说就是画出y对x的函数曲线,然后曲线上的点的切线斜率就是y对x在哪一点的导数值；
如果要知道一个函数的导数形式,需要知道极限的概念,导数就是f'(x)
f'(x)=lim(△->0)[f(x+△)-f(x)]/△
3：【如何讲解导数的定义?】
知识要点归纳：
导数是微积分中的重要概念. 导数定义为：当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续.不连续的函数一定不可导.
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示.如,导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性.
以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化. 为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化,导数的概念被推广为所谓的“联络”.有了联络,人们就可以研究大范围的几何问题,这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一.
求导数的方法
（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：
① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
② 求平均变化率
③ 取极限,得导数.
（2）几种常见函数的导数公式：
① C'=0(C为常数)；
② (x^n)'=nx^(n-1) (n∈Q)；
③ (sinx)'=cosx；
④ (cosx)'=-sinx；
⑤ (e^x)'=e^x；
⑥ (a^x)'=a^xIna （ln为自然对数）
⑦ (Inx)'=1/x（ln为自然对数）
（3）导数的四则运算法则：
①(u±v)'=u'±v'
②(uv)'=u'v+uv'
③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2
（4）复合函数的导数
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则.
导数是微积分的一个重要的支柱!
导数公式及证明 这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:
1.y=c(c为常数) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.f(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：
1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]?g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』
2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2
3.y=f(x)的反函数是x=g(y）,则有y'=1/x'
证：1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0.用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0.
2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况.在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明.
3.y=a^x,
⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)
⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x
如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β＝a^⊿x-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道：⊿x=loga(1+β).
所以(a^⊿x-1)/⊿x＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.
把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna.
可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x.
4.y=logax
⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x
⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x
因为当⊿x→0时,⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)＝logae,所以有
lim⊿x→0⊿y/⊿x＝logae/x.
可以知道,当a=e时有y=lnx y'=1/x.
这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了.因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,
所以y'=e^nlnx?(nlnx)'=x^n?n/x=nx^(n-1).
5.y=sinx
⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)
⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)
所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)?lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx
6.类似地,可以导出y=cosx y'=-sinx.
7.y=tanx=sinx/cosx
y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x
8.y=cotx=cosx/sinx
y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x
9.y=arcsinx
x=siny
x'=cosy
y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2
10.y=arccosx
x=cosy
x'=-siny
y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2
11.y=arctanx
x=tany
x'=1/cos^2y
y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2
12.y=arccotx
x=coty
x'=-1/sin^2y
y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2
另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与
4.y=u土v,y'=u'土v'
5.y=uv,y=u'v+uv'
均能较快捷地求得结果.
对于y=x^n y'=nx^(n-1) ,y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求导方法.
y=x^n
由指数函数定义可知,y>0
等式两边取自然对数
ln y=n*ln x
等式两边对x求导,注意y是y对x的复合函数
y' * (1/y)=n*(1/x)
y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1)
幂函数同理可证
导数说白了它其实就是斜率
上面说的分母趋于零,这是当然的了,但不要忘了分子也是可能趋于零的,所以两者的比就有可能是某一个数,如果分子趋于某一个数,而不是零的话,那么比值会很大,可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在.
x/x,若这里让X趋于零的话,分母是趋于零了,但它们的比值是1,所以极限为1.
建议先去搞懂什么是极限.极限是一个可望不可及的概念,可以很接近它,但永远到不了那个岸.
并且要认识到导数是一个比值.
这是参考网上的文章
关于求切线这是一位老师总结的：切点在曲线上,切点在切线上,曲线在切点处的导数即切线的斜率,没有切点就设切点.
14
4：用导数定义求（1）y=x^2在x=2处的导数值（2）y=根号x在x=1处的导数值
知识要点归纳：
(1)y'=2x y'|x=2=2*2=4
(2)y'=1/2x的﹣1/2次方,y'|x=1=1/2
5：【导数定义学f（x）=x2导数时,化简最后结果为2x+dx2.书上说后面的部分由于是趋于0的无穷小所以就省略不计了.可我觉得数学作为一门周密的科学,即使是像无穷小这样的量也不该这样省略不计了】
知识要点归纳：
导数的定义就是在“无限趋近于”基础上成立的,开始说导数与微分时就明确指出,当变化率无限小的时候,就是当X1无限趋近于X（就是x1-x几乎等于0）时,X²的导数取2X,它的微分为2Xdx.这里的趋近于0是无限的,比无穷小还小.
实际上,这个趋近于0就是指某个点本身,在它要动未动时的变化率,就是在它要动还没动时,研究它的变化趋势.
猜你喜欢：
1：高数导数定义
提示：导数就是某点切线的斜率 做 求导，积分，微分 题目最关键要记住公式，即使不懂定义也可以把题目做出来． 积分就是微分的逆运算，微分像是把东西分解开，积分就像是把东西拼回去 求导数跟求微分的过程是基本上一样的，就是表达答案及过程的形式不...
2：高中数学中，导数主要有什么概念和意义？
提示：导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过...
3：用导数定义求cosx的导数
提示：提示：- sinx 这个可用和差化积公式 cos(a) - cos(b) = - 2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] 并注意重要极限lim(h->0) sin(h)/h = 1 过程如图所示：
4：请问x分之一的导数是什么？
提示：(1/x)'=-1/x^2
5：利用导数定义求y=1/x^2函数的导数
提示：
