知识点：《虚数》 收集：孔谛镁 编辑：康乃馨姐姐
本知识点包括：1、虚数和复数分别是什么？ 2、什么是纯虚数? 3、复数的虚部 虚数有什么区别 4、什么是实数,什么是虚数??? 5、虚数的概念,定义 。
《虚数》相关知识
复数
开放分类： 数学、数学家、实数、虚数
定义
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复数就是实数和虚数的统称
复数的基本形式是a+bi,其中a,b是实数,a称为实部,bi称为虚部,i是虚数单位,在复平面上,a+bi是点Z(a,b).Z与原点的距离r称为Z的模|Z|=√a方+b方
a+bi中：a=0为纯虚数,b=0为实数,b不等于0为虚数.
复数的三角形式是 Z＝r[cosx+isinx]
中x,r是实数,rcosx称为实部,irsinx称为虚部,i是虚数单位.Z与原点的距离r称为Z的模,x称为辐角.
起源
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16世纪意大利米兰学者卡当（Jerome Cardan1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中,公布了三次方程的一般解法,被后人称之为“卡当公式”.他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家,并且在讨论是否可能把10分成两部分,使它们的乘积等于40时,他把答案写成=40,尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的,但他还是把10分成了两部分,并使它们的乘积等于40.给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650）,他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应,从此,虚数才流传开来.
数系中发现一颗新星——虚数,于是引起了数学界的一片困惑,很多大数学家都不承认虚数.德国数学家莱布尼茨（1646—1716）在1702年说：“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所,它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”.瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；“一切形如,习的数学武子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻.”然而,真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验,最终占有自己的一席之地.法国数学家达朗贝尔（1717—1783）在1747年指出,如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算,那么它的结果总是的形式（a、b都是实数）（说明：现行教科书中没有使用记号＝－i,而使用=一1）.法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730年发现公式了,这就是著名的棣莫佛定理.欧拉在1748年发现了有名的关系式,并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示一1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位.“虚数”实际上不是想象出来的,而它是确实存在的.挪威的测量学家成塞尔（1745—1818）在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释,并首先发表其作法,然而没有得到学术界的重视.
德国数学家高斯（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示.在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并过这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点C就表示复数a＋bi.象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“高斯平面”.高斯在1831年,用实数组（a,b）代表复数a＋bi,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合.统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数—一对应,扩展为平面上的点与复数—一对应.高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间—一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法.至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了.
经过许多数学家长期不懈的努力,深刻探讨并发展了复数理论,才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱,显现出它的本来面目,原来虚数不虚呵.虚数成为了数系大家庭中一员,从而实数集才扩充到了复数集.
随着科学和技术的进步,复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据.
具体内容和应用
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形如a＋bi的数 .式中 a,b 为实数 ,i是 一个满足i^2＝－1的数 ,因为任何实数的平方不等于－1,所以 i不是实数,而是实数以外的新的数.
在复数a＋bi中,a 称为复数的实部,b称为复数的虚部 ,复数的实部和虚部分别用Rez和Imz表示,即Rez =a,Imz=b.i称为虚数单位.当虚部等于零时,这个复数就是实数；当虚部不等于零时,这个复数称为虚数,虚数的实部如果等于零,则称为纯虚数.
由上可知,复数集包含了实数集,因而是实数集的扩张.复数的产生来自解代数方程的需要.16世纪,意大利数学家G.卡尔达诺首先用公式表示出了一元三次方程的根,但公式中引用了负数开方的形式,并把 i＝sqrt(-1) 当作数,与其他数一起参与运算.由于人们无法理解 i的实质,所以在很长时间内不承认负数的平方根也是数,而称之为虚数.直到19世纪,数学家们对这些虚数参与实数的代数运算作出了科学的解释,并在解方程和其他领域中使虚数得到了广泛的应用,人们才认识了这种新的数.
复数的四则运算规定为：
（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i,
（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i,
（a＋bi）?（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i,
（c与d不同时为零）
（a＋bi）÷（c＋di）＝（ac+bd/c^2+d^2）＋（bc－ad/c^2+d^2）i,
（c+di）不等于0
复数有多种表示形式,常用形式 z＝a＋bi 叫做代数式.
此外有下列形式.
①几何形式.复数z＝a＋bi 用直角坐标平面上点 Z（a,b ）表示.这种形式使复数的问题可以借助图形来研究.也可反过来用复数的理论解决一些几何问题.
②向量形式.复数z＝a＋bi用一个以原点O为起点,点Z（a,b）为终点的向量OZ表示.这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释.
③三角形式.复数z＝a＋bi化为三角形式
z＝r（cosθ＋isinθ）
式中r= sqrt(a^2+b^2),叫做复数的模（或绝对值）；θ 是以x轴为始边；向量OZ为终边的角,叫做复数的辐角.这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算.
④指 数形式.将复数的三角形式 z＝r( cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为 exp(iθ),复数就表为指数形式z＝rexp(iθ)
复数三角形式的运算：
设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2),那么z1z2＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
z1÷z2＝r1÷r2[cos(θ1－θ2)+isin(θ1－θ2)],若复数z的三角形式为r(cosθ+isinθ),那么z^n＝r^n(cosnθ+isinnθ),n√z＝n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n]（k＝1,2,3……）必须记住：z的n次方根是n个复数.
复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行.复数集不同于实数集的几个特点是：开方运算永远可行；一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；复数不能建立大小顺序.
┢柯乐栤┮ 2008-08-24 12:03
您觉得这个答案好不好?
好(2)不好(0) 实数包括有理数和无理数.其中无理数就是无限不循环小数和开根开不尽的数,有理数就包括整数,分数,0.
数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数.本来实数仅称作数,后来引入了虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”.
实数可以分为有理数和无理数两类,或代数数和超越数两类,或正数,负数和零三类.实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示.而 R^n 表示 n 维实数空间.实数是不可数的.实数是实分析的核心研究对象.
实数可以用来测量连续的量.理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的,也可以是非循环的）.在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位,n 为正整数）.在计算机领域,由于计算机只能存储有限的小数位数,实数经常用浮点数来表示.
①相反数（只有符号不同的两个数,我们就说其中一个是另一个的相反数） 实数a的相反数是-a
②绝对值（在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离） 实数a的绝对值是：│a│=①a为正数时,|a|=a
②a为0时, |a|=0
③a为负数时,|a|=-a
③倒数 （两个实数的乘积是1,则这两个数互为倒数） 实数a的倒数是：1/a （a≠0）
知识拓展：
1：【虚数的实际意义到底是什么?比如"根号下-2",在科学上到底有什么实际意义?】
知识要点归纳：
大多数人最为熟悉的数有两种,即正数（＋5,
＋17．5）和负数（－5,－17．5）.负数是在中世
纪出现的,它用来处理3－5这类问题.从古代人看来,要
从三个苹果中减去五个苹果似乎是不可能的.但是,中世纪
的商人却已经清楚地认识到欠款的概念.“请你给我五个苹
果,可是我只有三个苹果的钱,这样我还欠你两个苹果的钱.”
这就等于说：（＋3）－（＋5）＝（－2）.
正数及负数可以根据某些严格的规则彼此相乘.正数乘
正数,其乘积为正.正数乘负数,其乘积为负.最重要的是,
负数乘负数,其乘积为正.
因此,（＋1）×（＋1）＝（＋1）；
（＋1）×（－1）＝（－1）；
（－1）×（－1）＝（＋1）.
现在假定我们自问：什么数自乘将会得出＋1?或者用
数学语言来说,＋1的平方根是多少?
这一问题有两个答案.一个答案是＋1,因为（＋1）
×（＋1）＝（＋1）；另一个答案则是－1,因为（－1）
×（－1）＝（＋1）.数学家是用√￣（＋1）＝±1来
表示这一答案的.（碧声注：（＋1）在根号下）
现在让我们进一步提出这样一个问题：－1的平方根是
多少?
对于这个问题,我们感到有点为难.答案不是＋1,因
为＋1的自乘是＋1；答案也不是－1,因为－1的自乘同
样是＋1.当然,（＋1）×（－1）＝（－1）,但这是
两个不同的数的相乘,而不是一个数的自乘.
这样,我们可以创造出一个数,并给它一个专门的符号,
譬如说＃1,而且给它以如下的定义：＃1是自乘时会得出
－1的数,即（＃1）×（＃1）＝（－1）.当这种想法
刚提出来时,数学家都把这种数称为“虚数”,这只是因为
这种数在他们所习惯的数系中并不存在.实际上,这种数一
点也不比普通的“实数”更为虚幻.这种所谓“虚数”具有
一些严格限定的属性,而且和一般实数一样,也很容易处理.
但是,正因为数学家感到这种数多少有点虚幻,所以给
这种数一个专门的符号“i”(imaginary).我们可以把正
虚数写为（＋i）,把负虚数写为（－i）,而把＋1看作
是一个正实数,把（－1）看作是一个负实数.因此我们可
以说√￣（－1）＝±i.
实数系统可以完全和虚数系统对应.正如有＋5,
－17．32,＋3／10等实数一样,我们也可以有
＋5i,－17．32i,＋3i／10等虚数.
我们甚至还可以在作图时把虚数系统画出来.
假如你用一条以0点作为中点的直线来表示一个正实数
系统,那么,位于0点某一侧的是正实数,位于0点另一侧
的就是负实数.
这样,当你通过0点再作一条与该直线直角相交的直线
时,你便可以沿第二条直线把虚数系统表示出来.第二条直
线上0点的一侧的数是正虚数,0点另一侧的数是负虚数.
这样一来,同时使用这两种数系,就可以在这个平面上把所
有的数都表示出来.例如（＋2）＋（＋3i）或
（＋3）＋（－2i）.这些数就是“复数”.
数学家和物理学家发现,把一个平面上的所有各点同数
字系统彼此联系起来是非常有用的.如果没有所谓虚数,他
们就无法做到这一点了.
2：【请问虚数有何意义为什么要发明他,谁发明的,在哪些时候用到它,你是否真正理解它,是上能理解并利用它的人占多少呢?】
知识要点归纳：
虚数
在数学里,如果有数平方是负数的话,那个数就是虚数了；所有的虚数都是复数.“虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制,因为当时的观念认为这是真实不存在的数字.后来发现虚数可对应平面上的纵轴,与对应平面上横轴的实数同样真实.虚数轴和实数轴构成的平面称复平面,复平面上每一点对应着一个复数.
虚数的符号
1777年瑞士数学家欧拉开始使用符号i=√(-1)表示叙述的单位.而后人将虚数和实数有机的结合起来,写成a+bi形式 (a、b为实数),称为复数.
虚数的历史
由于虚数闯入数的领域时,人们对它的实际用处一无所知,在实际生活中似乎也没有用复数来表达的量,因此,在很长的一段时间里,人们对虚数产生过种种怀疑和误解.卡迪尔称“虚数”的本意是指他是假的；莱布尼兹在公元18世纪初则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所,它几乎是既存在又不存在的两栖物.”欧拉尽管在许多地方用了虚数,但又说一切形如√(-1)、√(-2)的数学式都是不可能有的,纯属虚幻的.
欧拉之后,挪威的一个测量学家维塞尔,提出把复数a+bi用平面上的点（a,b）来表示.后来,高斯提出了复平面的概念,终于使复数有了立足之地,也为复数的应用开辟了道路.现在,复数一盘用来表示向量（有方向的数量),这在水力学、地图学、航空学中的应用是十分广泛的.虚数越来越显示出其丰富的内容,真是：虚数不虚
复变函数及积分编换里用的超多,等你上了大学就知道他有多么广泛的用处了,没有它就没有现在的高科技.
3：虚数是如何产生的?
知识要点归纳：
要追溯虚数出现的轨迹,就要联系与它相对实数的出现过程.我们知道,实数是与虚数相对应的,它包括有理数和无理数,也就是说它是实实在在存在的数.
有理数出现的非常早,它是伴随人们的生产实践而产生的.
无理数的发现,应该归功于古希腊毕达哥拉斯学派.无理数的出现,与德谟克利特的“原子论”发生矛盾.根据这一理论,任何两个线段的比,不过是它们所含原子数目的经.而勾股定理却说明了存在着不可通约的线段.
不可通约线段的存在,使古希腊的数学家感到左右为难,因为他们的学说中只有整数和分数的概念,他们不能完全表示正方形对角线与边长的比,也就是说,在他们那里,正方形对角线与连长的比不能用任何“数”来表示.西亚他们已经发同了无理数这个问题,但是却又让它从自己的身边悄悄溜走了,甚至到了希腊最伟大的代数学家丢番图那里,方程的无理数解仍然被称为是“不可能的”.
“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制,因为当时的观念认为这是真实不存在的数字.后来发现虚数可对应平面上的纵轴,与对应平面上横轴的实数同样真实.
人们发现即使使用全部的有理数和无理数,也不能长度解决代数方程的求解问题.像x^2+1=0这样最简单的二次方程,在实数范围内没有解.12世纪的印度大数学家婆什伽罗都认为这个方程是没有解的.他认为正数的平方是正数,负数的平方也是正数,因此,一个正数的平方根是两重的；一个正数和一个负数,负数没有平方根,因此负数不是平方数.这等于不承认方程的负根的存在.
到了16世纪,意大利数学家卡当在其著作《大法》（《大衍术》）中,把记为1545R15-15m这是最早的虚数记号.但他认为这仅仅是个形式表示而已.1637年法国数学家笛卡尔,在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称,并和“实数”相对应.
1545年意大利米兰的卡丹发表了文艺复兴时期最重要的一部代数学著作,提出了一种求解一般三次方程的求解公式：
形如：x^3+ax+b=0的三次方程解如下：x={(-b/2)+[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3)+{(-b/2)-[(b^2)/4+(a^3)/27]^(1/2)}^(1/3)
当卡丹试图用该公式解方程x^3-15x-4=0时他的解是：x=[2+(-121)^(1/2)]^(1/3)+[2-(-121)^(1/2)]^(1/3)
在那个年代负数本身就是令人怀疑的,负数的平方根就更加荒谬了.因此卡丹的公式给出x=(2+j)+(2-j)=4.容易证明x=4确实是原方程的根,但卡丹不曾热心解释(-121)^(1/2)的出现.认为是“不可捉摸而无用的东西”.
直到19世纪初,高斯系统地使用了i这个符号,并主张用数偶（a、b）来表示a+bi,称为复数,虚数才逐步得以通行.
由于虚数闯进数的领域时,人们对它的实际用处一无所知,在实际生活中似乎没有用复数来表达的量,因此在很长一段时间里,人们对它产生过种种怀疑和误解.笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的；莱布尼兹则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所,它几乎是既存在又不存在的两栖物.”欧拉尽管在许多地方用了虚数,但又说：“一切形如,√-1,√-2的数学式子都是不可能有的,想象的数,因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数,我们只能断言,它们既不是什么都不是,也不比什么都不是多些什么,更不比什么都不是少些什么,它们纯属虚幻.”
继欧拉之后,挪威测量学家维塞尔提出把复数（a+bi）用平面上的点来表示.后来高斯又提出了复平面的概念,终于使复数有了立足之地,也为复数的应用开辟了道路.现在,复数一般用来表示向量（有方向的量）,这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛,虚数越来越显示出其丰富的内容.
4：虚数有什么实际意义吗?
知识要点归纳：
你现在还用不着,在我看来主要是研究一些没有实数解的时候,虚数作为解可以解释很多问题,主要是研究波函数的时候,常常有相位差一说,或者说波是由两个方向的简单波结合而成,此时就可以引入虚数,因为1和i是互不干扰的,无法直接抵消.另一个就是在研究电路当中,和电阻不一样的电容和电感,它们的电流和电压不是同时到达的,也有相位差,此时用虚数表示也很简便.还有一些不是很好求解的积分也可以通过复平面运用留数定理来求得.主要广泛运用在物理当中.
5：谁能给我讲一下虚数根的含义,那真是太感谢了.
知识要点归纳：
在数学里,如果有数平方是负数的话,那个数就是虚数了；所有的虚数都是复数.“虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制,因为当时的观念认为这是真实不存在的数字.后来发现虚数可对应平面上的纵轴,与对应平面上横轴的实数同样真实.虚数轴和实数轴构成的平面称复数平面,复平面上每一点对应着一个复数.每一个虚数可表达为 ib,其中 b 是实数,i的定义是：i^2 = - 1
虚根包括虚数单位的方程的根,亦即有负数平方根的方程的根
例如:
①x^2+1=0
x^2=-1
x=±i（虚根）
②x^3=1
x^3-1=0
（-1+x）（1+x+x^2）=0
x=1、-0.5+√3i/2或-0.5-√3i/2
（共轭复根）
③cosx=2
x=1.316957897i
（三角函数扩展到复数范围）
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