知识点：《微分公式》 收集：詹旨胀 编辑：栀子花女孩
本知识点包括：1、电容的电流，电压微分关系的公式怎么来的？ 2、微积分常用公式有哪些 3、电容电流的微分公式为C*(du/dt)，那么电容电压的积... 4、微分方程，用通解公式，要详细解答过程！ 5、微积分基本公式有哪些？ 。
《微分公式》相关知识
C'=0(C为常数函数)
(x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q)；
(sinx)' = cosx
(cosx)' = - sinx
(e^x)' = e^x
(a^x)' = (a^x) * Ina （ln为自然对数）
(Inx)' = 1/x（ln为自然对数 X>0）
(log a x)'=1/(xlna) ,(a>0且a不等于1)
(sinh(x))'=cosh(x)
(cosh(x))'=sinh(x)
(tanh(x))'=sech^2(x)
(coth(x))'=-csch^2(x)
(sech(x))'=-sech(x)tanh(x)
(csch(x))'=-csch(x)coth(x)
(arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1)
(arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1) (x>1)
(arctanh(x))'=1/(1+x^2) (|x|
知识拓展：
1：微分和求导什么关系求微分的公式就是求导公式?
知识要点归纳：
求微积分,要把式子还原为求导前的的式子.
2：【函数的求导公式与微分公式有什么关系】
知识要点归纳：
dx :是x的无穷小的增量；
dy ：是y的无穷小的增量；
dy/dx：是y对x的导数,是dy对dx的微分的商,简称微商.
意义：随着x的无穷小增量,引起y无穷小的增量,这两个增量的比率.
也就是,y随x的无穷小变化所导致的相对变化率、牵连变化率.
几何意义：在原函数上任意一点x处的切线的斜率.
y' ：国内的教学,对y'一往情深,对dy/dx弃如敝屣.
这样完全一边倒的教学法,就葬送了许多学生对微积分的基本悟性.
y'唯一的好处就是书写简便,它埋葬了微商的特性,尤其是解微分方程的直觉.
y'×dx：就是微分,y'在定义上是dy/dx,在表达形式上是一个函数y',
y'×dx就是表示由于x的增量导致的y的增量的大小.
也就是(dy/dx)dx,在形式上是f'(x)dx,在意义上是dy,
这就是导数公式与微分公式的关系.
3：【大一高数求微分的公式多么这些公式和求导公式什么关系】
知识要点归纳：
都是逆运算啊,这些积分公式都要多练习才能记住,单靠死记硬背是不行的!
4：导数微分公式
知识要点归纳：
【导数】
（1）（u ± v）′＝ u′± v′
（2）（u v）′＝ u′v ＋ u v′
（记忆方法：u v ＋ u v ,分别在“u”上、“v”上加′）
（3）（c u）′＝ c u′（把常数提前）
╭ u ╮′ u′v － u v′
（4）│——│ ＝ ——————— （ v ≠ 0 ）
╰ v ╯ v²
【关于微分】
左边：d打头
右边：dx置后
再去掉导数符号′即可
【微分】
设函数u＝u（x）,v＝v（x）皆可微,则有：
（1）d（u ± v）＝ du ± dv
（2）d（u v）＝ du•v ＋ u•dv
╭ u ╮ du•v － u•dv
（3）d│——│ ＝ ——————— （ v ≠ 0 ）
╰ v ╯ v²
（5）复合函数（由外至里的“链式法则”）
dy
—— ＝ f′（u）•φ′（x）
dx
其中y ＝ f（u）,u ＝ φ′（x）
（6）反函数的导数：
1
[ fˉ¹（y）]′＝ —————
f′（x）
其中, f′（x）≠ 0
【导数】
注：【】里面是次方的意思
（1）常数的导数：
（c）′＝ 0
（2）x的α次幂：
╭ 【α】╮′ 【α － 1】
│x │ ＝ αx
╰ ╯
（3）指数类：
╭ 【x】╮′ 【x】
│a │ ＝ a lna （其中a ＞ 0 ,a ≠ 1）
╰ ╯
╭ 【x】╮′ 【x】
│e │ ＝ e
╰ ╯
（4）对数类：
╭ ╮′ 1 1
│log x│ ＝ ——log e ＝ ——— （其中a ＞ 0 ,a ≠ 1）
╰ a ╯ x a xlna
1
（lnx）′＝ ——
x
（5）正弦余弦类：
（sinx）′＝ cosx
（cosx）′＝ －sinx
【微分】
注：【】里面是次方的意思
（1）常数的微分：
dC ＝ 0
（2）x的α次幂：
【α】 【α － 1】
dx ＝ αx dx
（3）指数类：
【x】 【x】
da ＝ a lnadx （其中a ＞ 0 ,a ≠ 1）
【x】 【x】
de ＝ e dx
（4）对数类：
1 1
dlog x ＝ ——log e ＝ ———dx （其中a ＞ 0 ,a ≠ 1）
a x a xlna
1
dlnx ＝ ——dx
x
（5）正弦余弦类：
dsinx ＝ cosxdx
dcosx ＝ －sinxdx
【导数】
（6）其他三角函数：
（tanx）′＝ ———— ＝ sec²x
cos²x
1
（cotx）′＝ － ———— ＝ －csc²x
sin²x
（secx）′＝ secx•tanx
（cscx）′＝ －cscx•cotx
（7）反三角函数：
1
（arcsinx）′＝ ——————— （－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√ 1－x²
1
（arccosx）′＝ － ——————— （－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√ 1－x²
1
（arctanx）′＝ —————
1＋x²
1
（arccotx）′＝ － —————
1＋x²
【微分】
（6）其他三角函数：
1
dtanx ＝ ———— ＝ sec²xdx
cos²x
1
dcotx ＝ － ———— ＝ －csc²xdx
sin²x
dsecx ＝ secx•tanxdx
dcscx ＝ －cscx•cotx dx
（7）反三角函数：
1
darcsinx ＝ ———————dx （－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√ 1－x²
1
darccosx ＝ － ———————dx （－1 ＜ x ＜1）
/￣￣￣￣￣
√ 1－x²
1
darctanx ＝ —————dx
1＋x²
1
darccotx ＝ － —————dx
1＋x²
•
导数的应用（一）—— 中值定理
特殊形式
【拉格朗日中值定理】—————→【罗尔定理】
【拉格朗日中值定理】
如果函数y ＝ f（x）满足：
（1）在闭区间〔a ,b〕上连续；
（2）在开区间（a ,b）上可导.
则：在（a ,b）内至少存在一点ξ（ a ＜ ξ ＜ b ）,使得
f（b）－ f（a）
f′（ξ）＝ ————————
b － a
【罗尔定理】
如果函数y ＝ f（x）满足：
（1）在闭区间〔a ,b〕上连续；
（2）在开区间（a ,b）上可导；
（3）在区间端点的函数值相等,即f（a）＝ f（b）.
则：在（a ,b）内至少存在一点ξ（ a ＜ ξ ＜ b ）,使得f′（ξ）＝0.
导数的应用（二）——求单调性、极值（辅助作图）
【单调性】
（1）如果x ∈（a ,b）时,恒有f′（x）＞ 0 ,
则f（x）在（a ,b）内单调增加；
（2）如果x ∈（a ,b）时,恒有f′（x）＜ 0 ,
则f（x）在（a ,b）内单调减少.
【极值】
若函数f（x）在点x₁处可导,且f（x）在x₁处取得
极值,则f′（x₁）＝ 0 .
导数的应用（三）——曲线的凹向与拐点（辅助作图 ）
【凹向】
设函数y ＝ f（x）在区间（a ,b）内具有二阶导数,
（1）若当x∈（a ,b）时,恒有f〃（x）＞ 0 ,
则曲线y ＝ f（x）在区间（a ,b）内上凹；
（2）若当x∈（a ,b）时,恒有f〃（x）＜ 0 ,
则曲线y ＝ f（x）在区间（a ,b）内下凹.
【拐点】
曲线上凹与下凹的分界点.
• 2009-4-24 10:06
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12楼
第一类：常数的积分
∫0dx ＝ C
∫dx ＝ x ＋ C （1的积分）
∫kdx ＝ kx ＋ C
第二类：x的α次幂的积分
【α】 1 【α＋1】
∫x dx ＝ ——— x ＋ C （α ≠ 1）
α＋1
第三类：倒数的积分 【注意：绝对值】
1
∫——dx ＝ ln|x| ＋ C （x ≠ 0）
x
第四类：指数的积分
【x】 1 【x】
∫a dx ＝ ——— a ＋ C （a ＞ 0 ,a ≠ 1）
lna
【x】 【x】
∫e dx ＝ e ＋ C
第五类：三角函数的积分
∫sinxdx ＝ －cosx ＋ C
∫cosxdx ＝ sinx ＋ C
∫tanxdx ＝ －ln|cosx| ＋ C 【选记】
∫cotxdx ＝ ln|sinx| ＋ C 【选记】
∫sec²xdx ＝ tanx ＋ C
∫csc²xdx ＝ －cotx ＋ C
第六类：结果为反三角函数
1
∫————dx ＝ arcsinx ＋ C ＝ －arccosx ＋ C₁
/￣￣￣
√ 1－x²
1
∫————dx ＝ arctanx ＋ C ＝ －arccotx ＋ C₁
1＋x²
5：求微分与求导求微分一定要先求导,再用导数×dx吗,或用lim(f（x+△x）-f(x))吗?还有,为什么△x=dx?
知识要点归纳：
1、求导、求微分,在英文中,是没有区别的,都是differentiate.区别是我们汉译时,
硬生生地加进去的.
2、我们把求导、求微分作了这样的区别：
dy/dx,是求导,国内以绝对的优势比例,压倒性地使用y‘,对dy/dx,兴趣缺缺；
dx、dy,是微分.
所以,求微分时,必须先求导.
例如,y = sinx,dy = cosx dx,看上去是微分,其实cosx的来源,就是求导的结果.
3、lim(f（x+△x）-f(x))
这是求导的定义式中的分子部分,当然也可以当成是微分的定义式.
如果当成微分的定义式,那么lim(f（x+△x）-f(x)) = f'(x) dx
4、为什么△x=dx?
△x 是有限小的增量,dx 是无限小的增量,也就是无穷小的增量.
当△x 趋向于0时,就等于dx .△x 中的 △ 表示的是增量,是 increasement.
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