知识点：《函数单调性》 收集：司旁势 编辑：梅花姐姐
本知识点包括：1、函数单调性的判断方法有哪些 2、正弦函数余弦函数的单调性 3、二次函数的单调性什么意思？ 4、什么是函数的单调性？ 5、复合函数的单调性确定方法。 。
《函数单调性》相关知识
证明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2， x
则f（x1）-f（x2）=
| 4 |
x 1 |
x
2+| 4 |
x 2 |
| ( x 2?x 1)(4?x 1x 2) |
x 1x 2 |
因为0＜x1＜x2＜2，所以x1-x2＜0，x1x2＜4，
所以f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）=x+
| 4 |
| x |
知识拓展：
1：用单调性定义证明：函数f(x)＝2x?x在（0，+∞）上为减函数．
知识要点归纳：
设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2 x
∵f(
| 2 |
x 1 |
x
1，f(x
2)＝| 2 |
x 2 |
x
2…2分∴f(
x
1)?f(x
2)＝| 2 |
x 1 |
| 2 |
x 2 |
x
2?x
1=| 2( x 2?x 1) |
x 1x 2 |
x
2?x
1=(x
2?x
1)(| 2 |
x 1x 2 |
又∵0＜x1＜x2，
∴
x
2?x
1＞0，| 2 |
x 1x 2 |
x
2?x
1)(| 2 |
x 1x 2 |
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴f（x1）＞f（x2）
由减函数的定义知道，f(x)＝
| 2 |
| x |
2：已知函数f(x)＝x+4x(x＞0)．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）用定义证明．
知识要点归纳：
（1）f（x）在（0，2]上单调递减，在（2，+∞）上单调递增． x
证明（2）设0＜x1＜x2≤2，则f(
x
2)＝(x
1+| 4 |
x 1 |
x
2+| 4 |
x 2 |
x
1?x
2)(1?| 4 |
x 1x 2 |
因0＜x1＜x2≤2，所有x1-x2＜0，1?
| 4 |
x 1x 2 |
即 f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，2]上单调递减．
设2＜x1＜x2，则f(
x
1)?f(x
2)＝(x
1+| 4 |
x 1 |
x
2+| 4 |
x 2 |
x
1?x
2)(1?| 4 |
x 1x 2 |
因2＜x1＜x2，所有x1-x2＜0，1?
| 4 |
x 1x 2 |
即 f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（2，+∞）上单调递增．
3：用单调性定义证明：函数f(x)＝2x?x在（0，+∞）上为减函数．
知识要点归纳：
设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2 x
∵f(
| 2 |
x 1 |
x
1，f(x
2)＝| 2 |
x 2 |
x
2…2分∴f(
x
1)?f(x
2)＝| 2 |
x 1 |
| 2 |
x 2 |
x
2?x
1=| 2( x 2?x 1) |
x 1x 2 |
x
2?x
1=(x
2?x
1)(| 2 |
x 1x 2 |
又∵0＜x1＜x2，
∴
x
2?x
1＞0，| 2 |
x 1x 2 |
x
2?x
1)(| 2 |
x 1x 2 |
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴f（x1）＞f（x2）
由减函数的定义知道，f(x)＝
| 2 |
| x |
4：【已知函数f（x）=x+1x（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）用定义判断f（x）在（0，1）上的单调性．】
知识要点归纳：
（1）f（x）=x+1 x
证明如下：
∵函数f（x）=x+
| 1 |
| x |
又f（-x）=-x+
| 1 |
| ?x |
| 1 |
| x |
∴f（x）=x+
| 1 |
| x |
（2）证明：设x1，x2是（0，1）内的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(
x
1)?f(x
2)＝x
1+| 1 |
x 1 |
x
2+| 1 |
x 2 |
x
1?x
2)?x 1?x 2 |
x 1x 2 |
x
1?x
2)(1?x 1?x 2 |
x 1x 2 |
∵x1，x2∈（0，1）且x1＜x2，
∴
x
1?x
2＜0，1?| 1 |
x 1x 2 |
则(
x
1?x
2)(1?| 1 |
x 1x 2 |
即f（x1）＞f（x2）．
∴f（x）在（0，1）上为减函数．
5：利用函数单调性的定义,证明函数f(x)=x+x分之一在区间(0,1]的单调性
知识要点归纳：
任取x1,x2在f（x）定义域里面且1
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