知识点：《立体几何定理》 收集：訾擦讯 编辑：茉莉花仙子
本知识点包括：1、立体几何有哪些重要定理？ 2、立体几何（欧式）有哪些很厉害的定理 3、高中数学 立体几何 4、怎么证明立体几何！该如何表达？好多定理我都忘记了。 5、立体几何中平面定理进行这样的说明足够吗? 。
《立体几何定理》相关知识
一.直线与平面平行的（判定）
1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.
2.应用:反证法(证明直线不平行于平面)
二.平面与平面平行的(判定)
1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
2.关键：判定两个平面是否有公共点
三．直线与平面平行的（性质）
1.性质：一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行 2.应用：过这条直线做一个平面与已知平面相交,那么交线平行于这条直线
四．平面与平面平行的（性质）
1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么他们的交线平行
2.应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线,实现线线平行
五：直线与平面垂直的（定理）
1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直
2.应用：如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线（线面垂直→线线垂直）
六.平面与平面的垂直(定理)
1.一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
(或者做二面角判定)
2.应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换
七.平面与平面垂直的(性质)
1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行
2.性质二:如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内(性质三没什么用,可以不用记)
以上,是立体几何的定理和性质整理.是一定要记住的基本!
知识拓展：
1：高中数学立体几何定理.公式
知识要点归纳：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内.
（1）判定直线在平面内的依据
（2）判定点在平面内的方法
公理2：如果两个平面有一个公共点,那它还有其它公共点,这些公共点的集合是一条直线 .
（1）判定两个平面相交的依据
（2）判定若干个点在两个相交平面的交线上
公理3：经过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.（1）确定一个平面的依据
（2）判定若干个点共面的依据
推论1：经过一条直线和这条直线外一点,有且仅有一个平面.（1）判定若干条直线共面的依据
（2）判断若干个平面重合的依据
（3）判断几何图形是平面图形的依据
推论2：经过两条相交直线,有且仅有一个平面.
推论3：经过两条平行线,有且仅有一个平面.
立体几何 直线与平面
空 间 二 直 线 平行直线
公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等.
异面直线
空 间 直 线 和 平 面 位 置 关 系
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线和平面平行——没有公共点
立体几何 直线与平面
直线与平面所成的角
（1）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线与平面所成的角
（2）一条直线垂直于平面,定义这直线与平面所成的角是直角
（3）一条直线和平面平行,或在平面内,定义它和平面所成的角是00的角
三垂线定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直
三垂线逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直
空间两个平面 两个平面平行 判定
性质
（1）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行
（2）垂直于同一直线的两个平面平行
（1）两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面
相交的两平面 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的线,这两个半平面叫二面角的面
二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点,在两个面内分另作垂直棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角
平面角是直角的二面角叫做直二面角
两平面垂直 判定
性质
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
（1）若二平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
（2）如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内
立体几何 多面体、棱柱、棱锥
多面体
定义 由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体.
棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱.
直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱.
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱.
棱锥 正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫正棱锥.
球
到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合.
欧拉定理
简单多面体的顶点数V,棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2
2：在立体几何中,证明平行四边形有哪些定理?在平面几何中关于平行四边形证明的定理,哪些立体几何中还试用?
知识要点归纳：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（6）一组对边平行一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
（7）一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形；
3：高中立体几何定理有些难题总需要一些很偏的定理,帮我找一些吧
知识要点归纳：
三垂线定理,最小角定理,欧拉定理
4：求高中立体几何公式和定理?
知识要点归纳：
基本概念 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上的所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点, 那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3： 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面. 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2：经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行直线,有且只有一个平面. 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理： 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同, 那么这两个角相等. 空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、 相交、异面 1、按是否共面可分为两类： （1）共面： 平行、 相交 （2）异面： 异面直线的定义： 不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交. 异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线, 与平面内不经过该点的直线是异面直线. 两异面直线所成的角：范围为 ( 0°,90° ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类： （1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点—— 平行或异面 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角： 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角. esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、 直线与平面平行或在平面内,所成的角为0°角 由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°,90°] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a和平面 互相垂直.直线a叫做平面 的垂线,平面 叫做直线a的垂面. 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面. 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行. ③直线和平面平行——没有公共点 直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点, 那么我们就说这条直线和这个平面平行. 直线和平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行. 直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行. 两个平面的位置关系： （1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点 （2）两个平面的位置关系： 两个平面平行-----没有公共点； 两个平面相交-----有一条公共直线. a、平行 两个平面平行的判定定理： 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行. 两个平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行. b、相交 二面角 （1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分, 其中每一个部分叫做半平面. （2） 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 二面角的取值范围为 [0°,180°] （3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱. （4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面. （5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线, 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. （6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角. esp. 两平面垂直 两平面垂直的定义：两平面相交,如果所成的角是直二面角, 就说这两个平面互相垂直.记为 ⊥ 两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直 两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. Attention： 二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、 面积射影定理、空间向量之法向量法（ 注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系） 多面体 棱柱 棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每两个四边形的公共边都互相平行, 这些面围成的几何体叫做棱柱. 棱柱的性质 （1）侧棱都相等,侧面是平行四边形 （2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 （3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形 棱锥 棱锥的定义：有一个面是多边形, 其余各面都是有一个公共顶点的三角形, 这些面围成的几何体叫做棱锥 棱锥的性质： （1） 侧棱交于一点.侧面都是三角形 （2） 平行于底面的截面与底面是相似的多边形. 且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方 正棱锥 正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形, 并且顶点在底面内的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥. 正棱锥的性质： （1）各侧棱交于一点且相等,各侧面都是全等的等腰三角形. 各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜高. （3） 多个特殊的直角三角形 esp： a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥, 由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心. b、四面体中有三对异面直线,若有两对互相垂直, 则可得第三对也互相垂直. 且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心. Attention： 1、 注意建立空间直角坐标系 2、 空间向量也可在无坐标系的情况下应用 多面体欧拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=2 正多面体只有五种：正四、六、八、十二、二十面体. 球 attention： 1、 球与球面积的区别 2、 经度（面面角）与纬度（线面角） 3、 球的表面积及体积公式 4、 球内两平行平面间距离的多解性
5：数学立体几何线面垂直判定定理的证明
知识要点归纳：
证明：已知直线L1 L22相交于O点且都与直线L垂直,L3是L1 L2所在平面内任意1条不与L1 L2重合或平行的直线（重合或平行直接可得它与L1平行）
在L3上取E、F令OE=OF, 分别过E、F作ED、FB交L2于D、B
（令OD=OB）则⊿OED ≌⊿ OFB （SAS）
延长DE、BF分别交L1于A、C 则⊿OEA≌⊿OFC（ASA）（注意角AEO与角CFO的补角相等所以它们相等）. 所以OA=OC,所以⊿OAD≌⊿OBC（SAS）所以AD=CB
因为L3垂直于L1 L2所以MA=MC,MD=MB
所以⊿MAD≌⊿MCD（SSS）所以 角MAE= 角MCF 所以⊿MAE≌⊿MCF（SAS）
所以ME=MF,所以⊿MOE≌⊿MOF（SSS）,所以角MOE=角MOF
又因为 角MOE与 角MOF互补,所以角MOE=角MOF=90度,即L⊥L3
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