知识点：《数列求和方法》 收集：相治寄 编辑：梅花姐姐
本知识点包括：1、等比数列求和公式推导 至少给出3种方法 2、几个常用数列求和公式 3、数列求和的方法有哪些？ 4、高中数学数列求和和求通项公式的方法？ 5、关于数列求和数列求和有哪些简便的方法，希望高手一一 。
《数列求和方法》相关知识
倒序相加法（等差数列前n项和公式推导方法）
错位相减法（等比数列前n项和公式推导方法）
分组求和法
拆项求和法
叠加求和法
数列求和关键是分析其通项公式的特点
9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式；当d=0时,an是一个常数.
11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=
当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0）,Sn=na1是关于n的正比例式.
12、等比数列的通项公式：an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)
13、等比数列的前n项和公式：当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；
当q≠1时,Sn= Sn=
三、有关等差、等比数列的结论
14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列.
15、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则
16、等比数列{an}中,若m+n=p+q,则
17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列.
18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列.
19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
{an bn}、 、 仍为等比数列.
20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列.
21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列.
22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d
23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)
24、{an}为等差数列,则 (c>0)是等比数列.
25、{bn}（bn>0）是等比数列,则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列.
26.在等差数列 中：
（1）若项数为 ,则
（2）若数为 则,,
27.在等比数列 中：
（1） 若项数为 ,则
（2）若数为 则,
四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.关键是找数列的通项结构.
28、分组法求数列的和：如an=2n+3n
29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n
30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和：如an=
32、求数列{an}的最大、最小项的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=
33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求
(1)当 >0,d
知识拓展：
1：求高中数学数列求和方法总结
知识要点归纳：
倒序相加法（等差数列前n项和公式推导方法）
错位相减法（等比数列前n项和公式推导方法）
分组求和法
拆项求和法
叠加求和法
数列求和关键是分析其通项公式的特点
9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时,an是关于n的一次式；当d=0时,an是一个常数.
11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=
当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0）,Sn=na1是关于n的正比例式.
12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项,an≠0)
13、等比数列的前n项和公式：当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；
当q≠1时,Sn= Sn=
三、有关等差、等比数列的结论
14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列.
15、等差数列{an}中,若m+n=p+q,则
16、等比数列{an}中,若m+n=p+q,则
17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列.
18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列.
19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列
{an bn}、 、 仍为等比数列.
20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列.
21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列.
22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d
23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)
24、{an}为等差数列,则 (c>0)是等比数列.
25、{bn}（bn>0）是等比数列,则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列.
26. 在等差数列 中：
（1）若项数为 ,则
（2）若数为 则, ,
27. 在等比数列 中：
（1） 若项数为 ,则
（2）若数为 则,
四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.关键是找数列的通项结构.
28、分组法求数列的和：如an=2n+3n
29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n
30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
31、倒序相加法求和：如an=
32、求数列{an}的最大、最小项的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=
33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求
(1)当 >0,d
2：关于高中数学的数列求和,怎么做?已知an=2的n次方,bn=2n求Tn=b1\a1+b2\a2+•••+bn\an（b是分子,a是分母）
知识要点归纳：
没错,用错位相减法
Tn=2/2+(2*2)/(2^2)+(2*3)/(2^3)+...+2n/(2^n)------①
Tn/2=2/(2^2)+(2*2)/(2^3)+(2*3)/(2^4)+...+2n/(2^(n+1))-------②
①-②得
Tn/2=1+2/(2^2)+2/(2^3)+...+2/(2^n)-2n/(2^(n+1))
=1+2[1/(2^2)+1/(2^3)+...+1/(2^n)]-2n/(2^(n+1))
=1+2[2^(-2)+2^(-3)+...+2^(-n)]-2n/(2^(n+1))
=1+2[(1-(1/2)^n)-1/2]-2n/(2^(n+1))
=1+ 2(1-(1/2)^n)-1-2n/(2^(n+1))
= 2(1-(1/2)^n)-2n/(2^(n+1))
所以Tn=2[2(1-(1/2)^n)-2n/(2^(n+1))]
=4-(1/2)^(n-2)-4n/(2^(n+1))
=4-(1/2)^(n-2)-n/(2^(n-1))
哪里不理解的话可以追问
3：数列11+2，11+2+3，11+2+3+4，A的前n项之和为______．
知识要点归纳：
由于 a
| 1 |
| 1+2+3+…+(n+1) |
| 2 |
| (n+2)(n+1) |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
Sn=2(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 1+n |
| 1 |
| n+2 |
=2（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n+2 |
| n |
| n+2 |
故答案为：
| n |
| n+2 |
4：数列求和用的裂项公式
知识要点归纳：
你看看这个吧,希望对你有帮助.
裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5） n·n!=(n+1)!-n!
[例1] 【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.
an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）
则 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）
＝ 1-1/(n+1)
＝ n/(n+1)
[例2] 【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1) 的前n项和.
an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）
则 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）
＝ (n-1)n(n+1)/3
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了.只剩下有限的几项.
注意： 余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的.
2余下的项前后的正负性是相反的.
易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等,典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2）
附：数列求和的常用方法：
公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等.(关键是找数列的通项结构)
1、分组法求数列的和：如an=2n+3n
2、错位相减法求和：如an=n·2^n
3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)
4、倒序相加法求和：如an= n
5、求数列的最大、最小项的方法：
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)
6、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求
(1)当 a1>0,d
5：对于实数x，用[x]表示不超过x的最大整数，如[0.32]=0，[5.68]=5．若n为正整数，an＝[n4]，Sn为数列{an}的前n项和，则S8=______、S4n=______．
知识要点归纳：
由题意，∵n为正整数， a
| n |
| 4 |
∴
a
(4k+1)＝[| 4k+1 |
| 4 |
a
(4k+2)＝[| 4k+2 |
| 4 |
a
(4k+3)＝[| 4k+3 |
| 4 |
a
4k＝[| 4k |
| 4 |
∴S8=a1+a2+…+a8=0+1+2+3=6，S4n=a1+a2+…+a4n=4（0+1+2+3+…+n-1）+n=4×
| n(n?1) |
| 2 |
故答案为：6；2n2-n．
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