知识点：《因式分解公式》 收集：田事谰 编辑：紫罗兰君
本知识点包括：1、因式分解的所有公式 2、因式分解公式有哪些因式分解的公式 3、高中数学因式分解公式 4、因式分解有哪几种？？计算方法是怎样的 5、什么叫做因式，什么叫做因式分解 。
《因式分解公式》相关知识
因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下：
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析： 1 -3
7 2
2-21=-19
7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
令y= x +2x -5x-6
作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列
a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.
例11、分解因式x +9x +23x+15
令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值
则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.
设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
知识拓展：
1：怎么用公式法因式分解
知识要点归纳：
因式分解的常用方法有提公因式法、公式法和分组分解法、十字相乘法等.
无论那种方法,若有公因式时先提公因式后再运用其它方法较为简便.
在初中,公式法常用的公式有平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：a^2+2ab+B^2=(a+b)^2或a^2-2ab+B^2=(a-b)^2
高中还有立方和差公式,和、差立方公式等.
如：am^2-an^2=a(m^2-n^2)=a(m+n)(m-n) (先提公因式a,再利用平方差公式）
x^4-2x^2y^2+y^2=(x^2-y^2)^2=(x+y)^2(x-y)^2 (先用完全平方公式,再用平方差公式）
2：【因式分解公式法一,填空因式分解：49n^2+14n+1=x^2+12x+36=x^2+2*x*()+()^2=(x+)^225x^2-10xy+()=(5x-y)^24a^2+()+9b^2=(2a+)^2因式分解16-24p+9p^2=因式分解x^2-x+1/4=因式分解1/4x^2+1/3x+1/9=因式分解-x^2+14x-49=因】
知识要点归纳：
一,填空
49n^2+14n+1=(7n+1)²
x^2+12x+36=x^2+2*x*( 6)+(6 )^2=(x+ 6 )^2
25x^2-10xy+( y² )=(5x-y)^2
4a^2+( 12ab )+9b^2=(2a+ 3b )^2
因式分解16-24p+9p^2=(4-3p)²
因式分解x^2-x+1/4=(x-1/2)²
因式分解1/4x^2+1/3x+1/9=(1/2x+1/3)²
因式分解-x^2+14x-49=-(x-7)²
因式分解x^4-2x^2+1=(x²-1)²=(x-1)²(x+1)²
如果多项式：x^2-kx+9是一个完全平方式,那么k=6
因式分解-x^2y^2-9+6xy=-(xy-3)²
二因式分解(要有过程）
3ax^2+6axy+3ay^2=3a(x²+2xy+y²)=3a(x+y)²
4x^2-4x+1=(2x-1)²
2x^5-12x^3y^2+18xy^4=2x(x^4+6x²y²+9y^4)=2x(x²+3y²)²
-81a^2-18ab-b^2=-(9a+b)²
-2a^3-4a^2-2a=-2a(a²+2a+1)=-2a(a+1)²
-1/4+1/2ab-1/4a^2b^2=-1/4(1-2ab+a²b²)=-1/4(1-ab)²
(x+y)^2-10(x+y)+25=(x+y-5)²
a^4-2a^2b^2+b^4=(a²-b²)²=(a-b)²(a+b)²
(m^2+n^2)^2-4m^2n^2=(m²+n²-2mn)(m²+n²+2mn)=(m-n)²(m+n)²
4(x+y)^2-20(x+y)+25=[2(x+y)-5]²=(2x+2y-5)²
(x^2+y^2)^2-4x^2y^2=(x²+y²-2xy)(x²+y²+2xy)=(x-y)²(x+y)²
(a-b)^2(3a-2)+(2-3a)b^2 这个题目有问题
三（要有过程）
因式分解a的n+2次方-8a的n次方+16a的n-2次方（n大于2且n为整数）
=（a的n+1次方-4a的n-1次方）²
判断4*3^2010-3^2007能否被321整除,并说明理由
4*3^2010-3^2007
=3^2007*(4*3³-1)
=3^2007*107
∵321=3*107
∴4*3^2010-3^2007能被321整除
3：公式法因式分解(-7+2m²)(-7-2m²)m(a-3)-n(3-a)(x-2y)(x+2y)-(x+2y)²+8y²（a+2b+3c）（a+2b-3c）
知识要点归纳：
这些题目有的象因式分解,有的象计算
(-7+2m²)(-7-2m²)
=(-7)²-(2m²)²
=49-4m的4次方 这是计算
m(a-3)-n(3-a)
=m(a-3)+n(a-3)
=(a-3)(m+n) 这是因式分解
m(a-3)-n(3-a)
=ma-3m-3n+na 这是计算
(x-2y)(x+2y)-(x+2y)²+8y²
=x²-4y²-x²-4xy-4y²+8y²
=-4xy
（a+2b+3c）（a+2b-3c）
=(a+2b)²-(3c)²
=a²+4ab+4b²-9c²
4：因式分解之公式法村民办养猪场,分大猪和小猪建两个正方形养猪场,已知大猪场的面积比小猪场的面积答40平方米,两个养猪场的围墙总长80米,求小猪场的面积.
知识要点归纳：
方法一：
设仔猪猪场边长为X,
成猪猪场边长则为(80-4*X)/4,化简为20-X那么仔猪猪场面积为X^2,
成猪猪场面积为(20-X)^2因为成猪猪场大于仔猪猪场,
所以:X^2+40=(20-X)^2完
全平方公式得:X^2+40=400-40X+X^2
最后解得:X=9
所以:仔猪猪场面积为81M^2
5：数学因式分解的公式法公式是什么?
知识要点归纳：
因式分解的十二种方法 :
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下：
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)
a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析：1 -3
7 2
2-21=-19
7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1
则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 图象法
令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
令y= x +2x -5x-6
作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2
则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列
a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.
例11、分解因式x +9x +23x+15
令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值
则x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.
设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
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