卢卡斯数列的基本概述
卢卡斯数列的通项公式为 f(n)=[(1+√5）/2]^n+[(1-√5)/2]^n先定义整数 P 和 Q ，使满足一元二次方程判断法则： △ = P^2 - 4Q > 0，从而得一方程 x^2 - Px + Q = 0，其根为 a, b。现定义卢卡斯数列为：Un(P,Q) = (a^n - b^n) / (a-b) 及 Vn(P,Q) = a^n + b^n其中 n 为非负整数，得 U0(P,Q) = 0、 U1(P,Q) = 1 、 V0(P,Q) = 2 、 V1(P,Q) = P、......我们有下列和卢卡斯数列相关的恒等式：Um+n = UmVn - a^nb^nUm-n 、 Vm+n = VmVn - a^nb^nVm-nUm+1 = P*Um - Q*Um-1 、 Vm+1 = P*Vm - Q*Vm-1 (取 n = 1)U2n = UnVn 、 V2n = Vn2 - 2*QnU2n+1 = Un+1Vn - Qn 、 V2n+1 = Vn+1Vn - PQn若取 (P,Q) = (1,-1)，我们便有 Un 为斐波那契数，即 0、 1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 21、 34、 55、 89、 144、 233、 377、 610、 987、 1597、 2584、 4181、 6765等。而 Vn 为卢卡斯数 (Lucas Number)，即 2、 1、 3、 4、 7、 11、18、 29、 47、 76、 123、 199、 322、 521、 843、 1364、 2207、 3571、 5778、 9349 等。若取 (P,Q) = (2,-1)，我们便有 Un 为佩尔数 (Pell Number)，即 0、 1、 2、 5、 12、 29、 70、 169、 408、 985、 2378、 5741等。而 Vn 为佩尔 - 卢卡斯数 (Pell - Lucas Number) (详见另文《佩尔数列》)，即 2、 2、 6、 14、 34、 82、 198、 478、 1154、 2786、 6726等。此等全都是数学界很有名的数列。
卢卡斯数列是斐波那契数列的推广吗
卢卡斯数
(简记
Ln)
有很多性质和斐波那契数很相似。如
Ln
=
Ln-1
+
Ln-2，其中不同的是
L1
=
1、
L2
=
3。
用文字来说，就是斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契数就由之前的两数相加...斐波那契数列是卢卡斯数列的特殊情况。或是斐波那契n步数列步数为2的情形。斐波那契数列1，1，2，3，5，8…，和卢卡斯数列1，3，4，7，11，18…，具有相同的性质：从第三项开始，每一项都等于前两项之和，我们称之为斐波那契—卢卡斯递推。凡符合斐波那契—卢卡斯递推的数列就称为斐波那契—卢卡斯数列。一般地，符合f(n)
=
f(n-1)+
f(n-2)，f(n-2)=f(n)-
f(n-1)的整数数列f(n)，都是斐波那契—卢卡斯数列。
卢卡斯数列的数列性质
卢卡斯数 (简记 Ln) 有很多性质和斐波那契数很相似。如 Ln = Ln-1 + Ln-2，其中不同的是 L1 = 1、 L2 = 3。所以卢卡斯数有：1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ...... (OEIS A000204)，当中的平方数只有 1 和 4，这是由哥恩 (John H. E. Cohn) 证明的。而素数，即卢卡斯素数 (Lucas Prime) 则有： 3, 7, 11, 29, 47, ...... 。当中现在知道最大的拟素数 (Probable Prime) 为 L574219 ，此数达 120005位之多。我们有下列和卢卡斯数相关的恒等式：Ln2 - Ln-1Ln+1 = 5 (-1)nL12 + L22 + ...... + Ln2 = LnLn+1 - 2Lm+n = (5FmFn + LmLn) / 2 (式中的 Fn 为斐波那契数)Lm-n = (-1)n (LmLn - 5FmFn) / 2Ln2 - 5Fn2 = 4 (-1)n
