因式分解法

时间:2023-06-13 04:50:37编辑:奇闻君

知识点:因式分解法收集:凌页垂 编辑:月季姐姐
本知识点包括:1、因式分解的方法有几种? 2、因式分解有哪几种方法? 3、因式分解法技巧 4、数学因式分解法解方程详细过程 5、因式分解法 。


《因式分解法》相关知识

因式分解的十二种方法 :

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下:

1、 提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.

例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)

x -2x -x=x(x -2x-1)

2、 应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)

a +4ab+4b =(a+2b)

3、 分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m +5n-mn-5m

m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘法

对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x -19x-6

分析:1 -3

7 2

2-21=-19

7x -19x-6=(7x+2)(x-3)

5、配方法

对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.

例5、分解因式x +3x-40

解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

=(x+ ) -( )

=(x+ + )(x+ - )

=(x+8)(x-5)

6、拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)

7、 换元法

有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.

例7、分解因式2x -x -6x -x+2

2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

=x [2(x + )-(x+ )-6

令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6

= x [2(y -2)-y-6]

= x (2y -y-10)

=x (y+2)(2y-5)

=x (x+ +2)(2x+ -5)

= (x +2x+1) (2x -5x+2)

=(x+1) (2x-1)(x-2)

8、 求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1

则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9、 图象法

令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例9、因式分解x +2x -5x-6

令y= x +2x -5x-6

作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2

则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元法

先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.

例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列

a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

=(b-c) [a -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11、 利用特殊值法

将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.

例11、分解因式x +9x +23x+15

令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值

则x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

12、待定系数法

首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.

例12、分解因式x -x -5x -6x-4

分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.

设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

所以 解得

则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

参考思路:

平方差公式:(a-b)(a+b)=a^2-b^2

完全平方公式:

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

知识拓展:

1:【因式分解公式法一,填空因式分解:49n^2+14n+1=x^2+12x+36=x^2+2*x*()+()^2=(x+)^225x^2-10xy+()=(5x-y)^24a^2+()+9b^2=(2a+)^2因式分解16-24p+9p^2=因式分解x^2-x+1/4=因式分解1/4x^2+1/3x+1/9=因式分解-x^2+14x-49=因】


知识要点归纳:

一,填空

49n^2+14n+1=(7n+1)²

x^2+12x+36=x^2+2*x*( 6)+(6 )^2=(x+ 6 )^2

25x^2-10xy+( y² )=(5x-y)^2

4a^2+( 12ab )+9b^2=(2a+ 3b )^2

因式分解16-24p+9p^2=(4-3p)²

因式分解x^2-x+1/4=(x-1/2)²

因式分解1/4x^2+1/3x+1/9=(1/2x+1/3)²

因式分解-x^2+14x-49=-(x-7)²

因式分解x^4-2x^2+1=(x²-1)²=(x-1)²(x+1)²

如果多项式:x^2-kx+9是一个完全平方式,那么k=6

因式分解-x^2y^2-9+6xy=-(xy-3)²

二因式分解(要有过程)

3ax^2+6axy+3ay^2=3a(x²+2xy+y²)=3a(x+y)²

4x^2-4x+1=(2x-1)²

2x^5-12x^3y^2+18xy^4=2x(x^4+6x²y²+9y^4)=2x(x²+3y²)²

-81a^2-18ab-b^2=-(9a+b)²

-2a^3-4a^2-2a=-2a(a²+2a+1)=-2a(a+1)²

-1/4+1/2ab-1/4a^2b^2=-1/4(1-2ab+a²b²)=-1/4(1-ab)²

(x+y)^2-10(x+y)+25=(x+y-5)²

a^4-2a^2b^2+b^4=(a²-b²)²=(a-b)²(a+b)²

(m^2+n^2)^2-4m^2n^2=(m²+n²-2mn)(m²+n²+2mn)=(m-n)²(m+n)²

4(x+y)^2-20(x+y)+25=[2(x+y)-5]²=(2x+2y-5)²

(x^2+y^2)^2-4x^2y^2=(x²+y²-2xy)(x²+y²+2xy)=(x-y)²(x+y)²

(a-b)^2(3a-2)+(2-3a)b^2 这个题目有问题

三(要有过程)

因式分解a的n+2次方-8a的n次方+16a的n-2次方(n大于2且n为整数)

=(a的n+1次方-4a的n-1次方)²

判断4*3^2010-3^2007能否被321整除,并说明理由

4*3^2010-3^2007

=3^2007*(4*3³-1)

=3^2007*107

∵321=3*107

∴4*3^2010-3^2007能被321整除

2:因式分解的公式法公式公式,所有,因式分解的公式法的公式


知识要点归纳:

因式分解的十二种方法

把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下:

1、 提公因法

如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.

例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题)

x -2x -x=x(x -2x-1)

2、 应用公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式.

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题)

a +4ab+4b =(a+2b)

3、 分组分解法

要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m +5n-mn-5m

m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘法

对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x -19x-6

分析: 1 -3

7 2

2-21=-19

7x -19x-6=(7x+2)(x-3)

5、配方法

对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解.

例5、分解因式x +3x-40

解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

=(x+ ) -( )

=(x+ + )(x+ - )

=(x+8)(x-5)

6、拆、添项法

可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解.

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

7、 换元法

有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来.

例7、分解因式2x -x -6x -x+2

2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

=x [2(x + )-(x+ )-6

令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6

= x [2(y -2)-y-6]

= x (2y -y-10)

=x (y+2)(2y-5)

=x (x+ +2)(2x+ -5)

= (x +2x+1) (2x -5x+2)

=(x+1) (2x-1)(x-2)

8、 求根法

令多项式f(x)=0,求出其根为x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

通过综合除法可知,f(x)=0根为 ,-3,-2,1

则2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9、 图象法

令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图象与X轴的交点x ,x ,x ,……x ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例9、因式分解x +2x -5x-6

令y= x +2x -5x-6

作出其图象,见右图,与x轴交点为-3,-1,2

则x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元法

先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.

例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析:此题可选定a为主元,将其按次数从高到低排列

a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

=(b-c) [a -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11、 利用特殊值法

将2或10代入x,求出数P,将数P分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.

例11、分解因式x +9x +23x+15

令x=2,则x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7

注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值

则x +9x +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

12、待定系数法

首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.

例12、分解因式x -x -5x -6x-4

分析:易知这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.

设x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

所以 解得

则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

3:数学因式分解公式法计算题100-(3x+2y)²(2x+1)²-x²4(a-b)²-(a+b)²(x²+x-1)²-1这些题要有完整的过程!拓展:已知2(的四十八次方)-1可以被60到70之间的某两个整数整除,


知识要点归纳:

100-(3x+2y)²=[10+(3x+2y)][1--(3x+2y)]=(10+3x+2y)(10-3x-2y)

(2x+1)²-x²=[(2x+1)+x][(2x+1)-x]=(3x+1)(x+1)

4(a-b)²-(a+b)²=[2(a-b)+(a+b)][2(a-b)-(a+b)]=(3a-b)(a-3b)

(x²+x-1)²-1=(x²+x-1+1)(x²+x-1-1)=x(x+1)(x+2)(x-1)

2^48-1=(2^24+1)(2^12+1)(2^6+1)(2^6-1)

2^6+1=65,2^6-1=63

能被65和63整除.

(x²+x+1)²-1=(x²+x+1+1)(x²+x+1-1)=x(x+1)(x²+x+2)

4:用因式分解法和公式法解方程x^2-6x+9=(5-2x)^2


知识要点归纳:

x^2-6x+9=(5-2x)^2

因式分解法

(x-3)^2-(5-2x)^2=0

[(x-3)+(5-2x)][(x-3)-(5-2x)]=0

(-x+2)(3x-8)=0

(x-2)(3x-8)=0

x=2,x=8/3

公式法

x^2-6x+9=25-20x+4x^2

3x^2-14x+16=0

a=3,b=-14,c=16

b^2-4ac=4

所以x=(14±√4)/6

x1=(14+2)/6=8/3,x2=(14-2)/6=2

5:因式分解之公式法村民办养猪场,分大猪和小猪建两个正方形养猪场,已知大猪场的面积比小猪场的面积答40平方米,两个养猪场的围墙总长80米,求小猪场的面积.


知识要点归纳:

方法一:

设仔猪猪场边长为X,

成猪猪场边长则为(80-4*X)/4,化简为20-X那么仔猪猪场面积为X^2,

成猪猪场面积为(20-X)^2因为成猪猪场大于仔猪猪场,

所以:X^2+40=(20-X)^2完

全平方公式得:X^2+40=400-40X+X^2

最后解得:X=9

所以:仔猪猪场面积为81M^2

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提示:

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