高一数学平面向量知识点分析
平面向量是高一的知识点，想要学习好需要学生把握好概念和运算，下面是我给大家带来的有关于高中数学平面向量知识点的具体介绍，希望能够帮助到大家。 高一数学平面向量知识点 向量：既有大小，又有方向的量. 数量：只有大小，没有方向的量. 有向线段的三要素：起点、方向、长度. 零向量：长度为的向量. 单位向量：长度等于个单位的向量. 相等向量：长度相等且方向相同的向量 &向量的运算 加法运算 AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。 已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。 对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。 |a+b|≤|a|+|b|。 向量的加法满足所有的加法运算定律。 减法运算 与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。 (1)a+(-a)=(-a)+a=0(2)a-b=a+(-b)。 数乘运算 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|=|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ< 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。 设λ、μ是实数，那么：(1)(λμ)a = λ(μa)(2)(λμ)a = λa μa(3)λ(a ± b) = λa ±λb(4)(-λ)a =-(λa) = λ(-a)。 向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。 向量的数量积 已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影。零向量与任意向量的数量积为0。 a.b的几何意义：数量积a.b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 高一必修二数学平面的基本性质知识点 平面的基本性质 教学目标 1、知识与能力： (1)巩固平面的基本性质即四条公理和三条推论. (2)能使用公理和推论进行解题. 2、过程与方法： (1)体验在空间确定一个平面的过程与方法; (2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。 3、情感态度与价值观： 培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生的审美能力和空间想象的能力。 教学重点 平面的三条基本性质即三条推论. 教学难点 准确运用三条公理和推论解题. 教学过程 一、问题情境 问题1：空间共点的三条直线能确定几个平面?空间互相平行的三条直线呢? 问题2：如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内? 二、温故知新 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线. 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 公理 4(平行公理) 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 把以上各公理及推论进行对比： 三、数学运用 基础训练：(1)已知： ;求证：直线AD、BD、CD共面. 证明： ——公理3推论1 ——公理1 同理可证， , 直线AD、BD、CD共面 【解题反思1】1。逻辑要严谨 2.书写要规范 3.证明共面的步骤： (1)确定平面——公理3及其3个推论 (2)证线“归” 面(线在面内如： )——公理1 (3)作出结论。 变式1、如果直线两两相交，那么这三条直线是否共面?(口答) 变式2、已知空间不共面的四点，过其中任意三点可以确定一个平面，由这四个点能确定几个平面? 变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗?(口答) (2)已知直线 满足： ;求证：直线 证明： ——公理3推论3 ——公理1 直线 共面 提高训练：已知 ，求证： 四条直线在同一平面内. 思路分析：考虑由直线a,b确定一个平面，再证明直线c,l在此平面上，但十分困难。因而可以开放思路，考虑确定两个平面，再证明两个平面重合，问题迎刃而解。 证明： ——公理3推论3 ——公理3推论3 ——公理1 因此，平面 同时经过两条相交直线 所以平面 重合。——公理3推论2 直线 共面 上面方法称为同一法 拓展训练：如图，三棱锥A-BCD中，E、G分别是BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF:FC=DH:HA=2:3;求证：EF、GH、BD交于一点.[渗透空间问题平面化思想] 思路分析：思路1：开放思路，考虑三个平面，首先证明两条直线在一个面内，并且相交，然后证明交点在两个平面上，据公理2知它在两面唯一的交线——第三条直线上，因此证得三线共点。 证法1：连接 ， 因 E、G分别是BC、AB的中点，故 因DF:FC=DH:HA=2:3,故 ——公理4 共面，由上知， 相交，设交点为O,则 平面 , 平面 , 所以 直线 所以EF、GH、BD交于一点。 思路2：首先证明直线 GH、BD交于一点P,直线EF 、BD交于一点Q，然后证明两点P、Q重合，进而得出EF、GH、BD交于一点。 证法法2：提示：过点H作HO,使得 ,交点为O，连接OF，证明 , 延长GH,EF,使它们与直线BD分别交于点P、Q，由三角形相似可以得出OP=OQ.所以点P、Q重合。 链接生活：在正方体木头中，试画出过其中三条棱的中点P、Q、R的平面截得木头的截面形状. 【解题反思2】1。逻辑要严谨 2.书写要规范 3.方法要掌握 (1)证明共面的步骤： 1)确定平面——公理3及其3个推论——公理3及3个推论 2)证线“归” 面(线在面内如： )——公理1 3)作出结论。 (2)证明共线的步骤： ①证所有点在第一个面内(如平面 )——公理1 ②证所有点在第二个面内(如平面 ) ——公理1 ③结论1：所有点在两个平面的交线上 ④结论2：所有点共线——公理2 (3)证明共点的步骤： 1)证交于一个点——公理3及3个推论 2)证此点在二个面内(如平面 ) ——公理1 3)结论1：此点在两个平面的交线上——————公理2 4)结论2：三条线共点 四、回顾小结 本节主要复习了平面三个公理和三个推论，学会了如何使用公理及其推论解题. 五、课外作业(见所发的前置作业) 反馈练习 [ 1.2.1 平面的基本性质(2)] 1、经过同一直线上的3个点的平面( ) A、有且只有1个 B、有且只有3个 C、有无数个 D、有0个 2、若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是( ) A、1或2 B、2或3 C、1或3 D、1或2或3 3、与空间四点距离相等的平面共有( ) A、3个或7个 B、4个或10个 C、4个或无数个 D、7个或无数个 4、四条平行直线最多可以确定( ) A、三个平面 B、四个平面 C、五个平面 D、六个平面 5、四条线段首尾顺次相连，它们最多可确定的平面个数有 个. 6、给出以下四个命题： ①若空间四点不共面，则其中无三点共线; ②若直线l上有一点在平面 外，则l在 外; ③若直线 、 、 中， 与 共面且 与 共面，则 与 共面; ④两两相交的三条直线共面. 其中所有正确的命题的序号是 . 7.点P在直线l上，而直线l在平面 内，用符号表示为( ) A. B. C. D. 8.下列推理，错误的是( ) A. B. C. D. 9.下面是四个命题的叙述语(其中A、B表示点， 表示直线， 表示平面) ① ② ③ ④ 其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_______________. 10、已知A、B、C不在同一条直线上，求证：直线AB、BC、CA共面. 11、求证：如果一条直线与两条平行线都相交，那么这三条直线在同一个平面内. 已知：直线 、 、 且 ， ， ; 求证：直线 、 、 共面. 12、在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ①AA1与CC1能否确定一个平面?为什么? ②点B、C1、D能否确定一个平面?为什么? ③画出平面ACC1A1与平面BC1D的交线，平面ACD1与平面BDC1的交线.
高中数学平面向量知识点总结概括
《高中数学》是由人民教育出版社出版的图书，该书由人民教育出版社、课程教材研究所、数学课程教材研究开发中心共同编制，内容包括《集合与函数》《三角函数》《不等式》《数列》《复数》《排列、组合、二项式定理》《立体几何》《平面解析几何》等部分。下面是我精心收集的高中数学有关平面向量知识点总结概括，希望能对你有所帮助。 一、定比分点 定比分点公式（向量P1P=λ向量PP2） 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1（x1，y1），P2（x2，y2），P（x，y），则有 OP=（OP1+λOP2）（1+λ）；（定比分点向量公式） x=（x1+λx2）/（1+λ）， y=（y1+λy2）/（1+λ）。（定比分点坐标公式） 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式。 二、三点共线定理 若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。 三、三角形重心判断式 在△ABC中，若GA+GB+GC=O，则G为△ABC的重心。 四、向量共线的重要条件 若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。 a//b的重要条件是xy—xy=0。 零向量0平行于任何向量。 五、向量垂直的充要条件 a⊥b的充要条件是ab=0。 a⊥b的充要条件是xx+yy=0。 零向量0垂直于任何向量。 设a=（x，y），b=（x，y）。 六、向量的运算 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=（x+x，y+y）。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=—b，b=—a，a+b=0。0的反向量为0 AB—AC=CB。即“共同起点，指向被减” a=（x，y） b=（x，y） 则a—b=（x—x，y—y）。 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时，表示向量a的'有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 5、数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：（λa）b=λ（ab）=（aλb）。 向量对于数的分配律（第一分配律）：（λ+μ）a=λa+μa。 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ（a+b）=λa+λb。 数乘向量的消去律： ①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。 ②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 6、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a，b。作OA=a，OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉并规定0≤〈a，b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+—∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：ab=xx+yy。 7、向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律）； （λa）b=λ（ab）（关于数乘法的结合律）； （a+b）c=ac+bc（分配律）； 向量的数量积的性质 aa=|a|的平方。 a⊥b〈=〉ab=0。 |ab|≤|a||b|。 8、向量的数量积与实数运算的主要不同点 8.1向量的数量积不满足结合律，即：（ab）c≠a（bc）；例如：（ab）^2≠a^2b^2。 8.2向量的数量积不满足消去律，即：由ab=ac（a≠0），推不出b=c。 8.3|ab|≠|a||b| 8.4由a|=|b|，推不出a=b或a=—b。 七、向量的向量积 1、定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。 2、向量的向量积性质： ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 a×a=0。 a‖b〈=〉a×b=0。 3、向量的向量积运算律 a×b=—b×a； （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； （a+b）×c=a×c+b×c。 注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 4、向量的三角形不等式 1、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ①当且仅当a、b反向时，左边取等号； ②当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、∣∣a∣—∣b∣∣≤∣a—b∣≤∣a∣+∣b∣。 ①当且仅当a、b同向时，左边取等号； ②当且仅当a、b反向时，右边取等号。
