兰彻斯特方程的方程组是什么
兰彻斯特方程式英国工程师F.W.兰彻斯特提出了描述作战双方兵力变化关系的微分方程组，该方程组被称为兰彻斯特方程。兰彻斯特方程 描述敌对双方交战过程中兵力变化关系的微分方程组。包括第一线性律、第二线性律与平方律。用以揭示在特定的初始兵力兵器条件下，敌对双方战斗结果变化的数量关系。主要用于作战指挥、军事训练、武器装备论证等方面的运筹分析。兰彻斯特的战斗力方程是：战斗力=参战单位总数×单位战斗效率
兰彻斯特方程的主要形式
兰彻斯特方程的主要形式有： 设在近代战斗条件下，红、蓝两军交战，双方各自装备同类武器，相互通视，并在武器射程范围内进行直接瞄准射击；双方每一战斗单位射击对方每一战斗单位的机会大致相同。将双方在战斗中尚存的战斗单位数作为连续的状态变量，以m(t)、n(t)表示在战斗开始后t时刻蓝方、红方在战斗中尚存的作战单位数，可用下列微分方程组来描述战斗过程中双方兵力随时间的损耗关系：式中α、β分别为蓝方、红方在单位时间内每一战斗单位毁伤对方战斗单位的数目， 简称为蓝方、 红方的毁伤率系数。在双方使用步兵武器进行直瞄射击的情况下，毁伤率系数等于武器的射速乘以单发射弹命中目标的概率与命中目标的条件下毁伤目标概率的乘积。假设交战开始时刻蓝方、红方的初始战斗单位数为m(0)=M,n(0)=N，从上述微分方程组可知，在交战过程中双方战斗单位数符合下列状态方程：α[M^2- m(t)^2]=β[N^2- n(t)^2]当交战双方的初始战斗单位数与毁伤率系数之间满足αM^2=βN^2时，m(t)与n(t)同时趋于零，战斗不分胜负。当αM^2<βN^2时,蓝方将首先被消灭。兰彻斯特将上述关系概括为“在直接瞄准射击条件下，交战一方的有效战斗力，正比于其战斗单位数的平方与每一战斗单位平均战斗力(平均毁伤率系数)的乘积”,并称之为“平方律”。按照这一定律，如果蓝方武器系统的单个战斗单位的平均效率为红方的4倍,则红方在数量上必须集中2倍于蓝方的兵力才可抵消蓝方武器在质量上的优势。兰彻斯特采用下述例子说明平方律符合集中优势兵力的作战原则：“如果蓝方1000人与红 方1000人交战，双方单个战斗单位的平均战斗力相同,红方被蓝方分割成各500人的两半。假定蓝方以1000人先攻击红方的500人，则蓝方将以损失134人的代价全歼红方的一半,接着蓝方以剩下的866人再全歼红方的另一半，蓝方在这两次战斗中总共损失293人。”直接求解上述微分方程组可以得到蓝、红双方兵力随时间变化的关系：蓝方兵力=A1=1000红方兵力=B1=B2=500作战效率=1蓝方战斗力=蓝方兵力×作战效率=1000红方战斗力=红方兵力×作战效率=500单位时间=1蓝方集中1000人攻击红方500人，则根据公式可得第一回合蓝方剩余兵力=√蓝方战斗力^2-红方战斗力^2=√750000≈866.02第二回合蓝方剩余兵力=√499956≈707.07由此我们可以看出，在两军对垒中如果武器装备落后于对手4倍水平级别，则必须在兵力上增派至4倍兵力数方可抵消对手在装备上造成的压力。即当双方的兵力总数逼近瓶颈时，装备的优劣是影响战局的主要因素。式中ch(·)、sh(·)为双曲余弦函数与双曲正弦函数。 假定红、蓝两军各自使用武器(如火炮)对对方实施远距离间接瞄准射击，火力集中在已知对方战斗单位的集结地区，该区域的大小与对方部队的数量无关。此时一方的损伤率与对方向其开火的战斗单位数量成正比，同时也与己方部队在该防区内的数量成正比。这时，可用下列微分方程组来描述双方战斗单位数量随时间的变化：(t)、n(t)的含义同平方律。经简单推导可知交战过程中双方兵力符合下列状态方程：α[M - m(t)]=β[N - n(t)]式中M、N 的意义同平方律。交战双方不分胜负的条 件为αM=βN,如果αM<βN,则蓝方将首先被消灭。兰彻斯特将上述关系概括为“在向面目标间接瞄准射击的条件下，交战一方的有效战斗力正比于其战斗单位数与该方每一战斗单位的平均战斗力的乘积”，并称之为线性律。冷兵器时代，战斗形式通常是单兵之间一对一地进行格斗，战斗的结局取决于双方的格斗水平，蓝、红双方的平均毁伤率取常数值，分别用α、β表示，交战过程中双方兵力的变化可用下列微分方程组来描述：式中m(t)、n(t)的含义同平方律。此时交战过程中双方兵力之间符合的状态方程与向面目标进行间瞄射击时的线性律所描述的状态方程完全相同。这种关系可概括为“在兵一对一格斗的条件下，交战一方的有效战斗力正比于其战斗单位数与该方每一战斗单位的平均战斗力的乘积。”这便是描述冷兵器时代战斗的线性律。为加以区别，有时将描述使用冷兵器战斗的线性律称为“第一线性律”，而将描述使用火器向面目标进行间瞄射击时的线性律称为“第二线性律”。
兰彻斯特方程
兰切斯特方程又称兰彻斯特战斗理论或战斗动态理论，是应用数学方法研究敌对双方在战斗中的武器、兵力消灭过程的运筹学分支。是描述交战过程中双方兵力变化关系的微分方程组。 因系F.W.兰彻斯特所创，故有其名。方程解释：1.远距离恒定伤亡对射情况(上古时代才有的情况)该情况的战争示意图，大概是下面这个样子兰切斯特第一线性律以古代战斗模型为基础，战斗结局取决于双方的格斗水平。其假定条件是作战兵力相互暴露，可解释成人对人或武器对武器的交战，每一方损耗率都平均为常值。2.不能精确探测双方位置的远距离对战大概是下面这种情况兰切斯特第二线性律以炮击为基础，射击带有一定的盲目性，火力集中在已知的敌战斗单位的集结地区，并不针对具体的目标实施射击，而这个集结地区的大小几乎与敌部队的数量无关（面射击模型）。因为射击为随机瞄准且不转移火力，在此情况下，双方的损耗率与自己部队数量，敌方战斗力，敌方部队数量均成正比。3.大规模遭遇战（适合大多数现实情况）同样先来一张示意图，该情况下战斗情形大概如下：兰切斯特平方律以大部分遭遇战为原型，合理的解释了“人海战术”的科学性和合理性，同时因为方程自身存在的特性，也提供了为敌众我寡，分而击之提供了理论依据（计算结果显示，将大团队等分能最大限度降低战斗的作战能力，这也是截断战术的理论解释），不过现代战争中影响战力偏差的因素太多，所以兰切斯特平方定律并不能完美的解释现代战争的伤亡人数比。
兰切斯特方程的基本概念
1915年，英国工程师F.W.兰彻斯特在《战斗中的飞机》一文中，首先提出用常微分方程组描述敌对双方兵力消灭过程，定性地说明了集中兵力的原理。开始是用于分析交战过程中的双方伤亡比率，后用途逐渐推广。兰切斯特方程证明，相同战斗力和战斗条件下，1000对2000人作战。几轮战斗下来。多方只要伤亡268人就能全歼1000人的队伍，兰切斯特方程特别适用于现代战争中分散化军队和远程火炮配置发生的战斗，远距离战斗比如炮战、空战、舰队海战很可能出现兰切斯特方程的理想情况。在1914年，英国人兰切斯特F.W.Lanchester研究空战最佳编队，发现了兰切斯特方程。当战斗双方在彼此视距外交战的时候，任一方实力与本身数量成正比，即兰切斯特线性律。当战斗双方任意战斗单位都在彼此视野及火力范围以内交战的时候，任一方实力与本身数量的平方成正比，即兰切斯特平方律。兰彻斯特的战斗力方程是：战斗力=参战单位总数×单位战斗效率。它表明：在数量达到最大饱和的条件下，提高质量才可以增强部队的战斗力，而且是倍增战斗力的最有效方法。在高新科学技术的影响下，军队的数量、质量与战斗力之间的关系已经发生了根本性变化：质量居于主导地位，数量退居次要地位，质量的优劣举足轻重，质量占绝对优势的军队将取得战争的主动权。一般说来，高技术应用在战场上形成的信息差、空间差、时间差和精度差，是无法以增加普通兵器和军队数量来弥补的；相反，作战部队数量的相对不足，却可以高技术武器装备为基础的质量优势来弥补，即通过提高单位战斗效率来提升战斗力。战争实践表明，提高质量是部队建设的基本要求，在部队数量相差不大的情况下，质量高者获胜，质量差者失败；倘若不能形成同一质量层次的对抗，处于劣势的一方纵有再多的飞机、坦克、大炮，也可能失去还手之力。假定A的单位战斗力是B的一半，但是数量是B的三倍。假定B有1000人，A有3000人。如果是面对面的战斗，A方损失264人即可消灭掉B方的1000人。现在A需要先接近B再进行面对面的战斗，按兰切斯特线性律，A付出1000人的代价歼灭B500人以后接近，在2000对500的近战中，付出187人的代价歼灭B方500人，总损失187人对1000人。兰切斯特方程没有考虑战场上的许多要素，并不完全，对局部的战役有参考价值，对整个战争的结局无能为力。兰切斯特方程在战争摸拟的时候会被经常使用，恩格尔曾经使用兰切斯特方程摸拟硫磺岛战役，计算结果与事实非常接近.
