几何布朗运动和分数布朗运动有什么区别
几何布朗运动 (GBM) (也叫做指数布朗运动) 是连续时间情况下的随机过程，其中随机变量的对数遵循布朗运动,[1] also called aWiener process.几何布朗运动在金融数学中有所应用，用来在布莱克-舒尔斯定价模型中模仿股票价格。
分数布朗运动
世界是非线性的，宇宙万物绝大部分不是有序的、线性的、稳定的，而是混沌的、非线性的、非稳定和涨落不定的沸腾世界。有序的、线性的、稳定的只存在于我们自己构造的理论宫殿，而现实宇宙充满了分形。在股票市场的价格波动、心率及脑波的波动、电子元器件中的噪声、自然地貌等大量的自然现象和社会现象中存在着一类近乎全随机的现象，它们具有如下特性：在时域或空域上有自相似性和长时相关性和继承性；在频域上，其功率谱密度在一定频率范围内基本符合1/f的多项式衰减规律。因此被称为1/f族随机过程。Benoit Mandelbrot和Van Ness 提出的分数布朗运动(fractional Brownian motion，FBM)模型是使用最广泛的一种，它具有自相似性、非平稳性两个重要性质，是许多自然现象和社会现象的内在特性。分数布朗运动被赋予不同的名称，如分形布朗运动、有偏的随机游走(Biased Random walk)、分形时间序列(Fractional time serial)、分形维纳过程等。其定义如下：
设0<H<1，Hurst参数为H的分数布朗运动为一连续Gaussian过程，且 ，协方差为 。H=1/2时， 即为标准布朗运动 。
分数布朗运动特征是时间相关函数C(t)≠0,即有持久性或反持久性,或者说有“长程相关性”,不失一般性，可以给出一维情形的布朗运动及分数布朗运动的定义。分数布朗运动既不是马尔科夫过程，又不是半鞅，所以不能用通常的随机来分析。分数布朗运动与布朗运动之间的主要区别为：分数布朗运动中的增量是不独立的，而布朗运动中的增量是独立的；分数布朗运动的深层次上和布朗运动的层次上它们的分维值是不同的，分数布朗运动（分形噪声）的分维值alpha等于1/H，H为Hurst指数，而布朗运动（白噪声）的分维值都是2。
Hurst在一系列的实证研究中发现，自然现象都遵循“有偏随机游走”，即一个趋势加上噪声，并由此提出了重标极差分析法(Rescaled Range Analysis，R/S分析)。设R/S表示重标极差，N表示观察次数，a是固定常数，H表示赫斯特指数，在长达40多年的研究中，通过大量的实证研究，赫斯特建立了以下关系:
R/S=(aN)H
通过对上式取对数，可得：
log(R/S)=H(logN十loga)
只要找出R/S关于N的log/log图的斜率，就可以来估计H的值。 Hurst指数H用来度量序列相关性和趋势强度：当H=0.5时，标准布朗运动，时间序列服从随机漫步；当H≠0.5时,C(t)≠0，且与时间无关，正是分数布朗运动的特征。当0.5<H<1时，序列是趋势增强的，遵循有偏随机游走过程；当0<H<0.5时，序列是反持续性的。可以看出，Hurst指数能够很好地刻画证券市场的波动特征，将R/S分析应用于金融市场，可以判断收益率序列是否具有记忆性，记忆性是持续性的还是反持续性的。所以，分数布朗运动是复杂系统科学体系下的数理金融学的一个合适的工具，作为对描述金融市场价格波动行为模型的维纳过程的一般化、深刻化具有重要的理论与现实意义。
几何布朗运动?
问题一：几何布朗运动的均值函数怎么求 设布朗运动为B(t),布朗运动本身是正态分布,而且满足分布~N（0,t）.几何布朗运动是W（t）=exp（B（t））；这是一个很好的线性对应关系.所以均值就是（如图）
解这个简单的积分,就得到均值：exp（t/2） 顺便方差也求了吧：exp（2t）-exp(t)
问题二：请问如何用R语言做大量次数的几何布朗运动的模拟（参数μ，σ已知） 10分 这上网搜应该搜的到吧，比如这篇文章
股票价格行为关于几何布朗运动的模拟--基于中国上证综指的实证研究
,照着几何布朗运动的公式直接写代码应该就行了吧，代码逻辑都很清晰。
下面是照着这片文章模拟一次的代码，模拟多次的话，外面再套个循环应该就行了。然后再根据均方误差(一般用这个做准则的多)来挑最好的。
话说你的数据最好别是分钟或者3s切片数据，不然R这速度和内存够呛。
N 问题三：研究衍生品的时候为什么用几何布朗运动来模拟股票价格的运行轨迹 其实很简单，GBM（至少在一定程度上）符合人们对市场的观察。例如，直观的说，股票的价格看起来很像随机游走，再例如，股票价格不会为负，这样起码GBM比普通的布朗运动合适，因为后者是可以为负的。
再稍微复杂一点，对收益率做测试（ S(t)/S(t-1) - 1）做测试，发现，哎居然还基本是个正态分布。收益率是正态的，股价就是GBM模型
总之，就是大家做了很多统计测试，发现假设成GBM还能很好的逼近真实数值，比较接近事实。所以就用这个。
其实将精确的数学模型应用到金融的时间非常短。最早是1952年的Markowitz portfolio selection. 那个其实就是一个简单的优化问题。后来的CAPM APT等诸多模型，也仅仅研究的是一系列证券，他们之间回报、收益率以及其他影响因素关系，没有涉及到对股价运动的描述。
第一次提出将股价是GBM应用在严格模型的是black-scholes model 。在这个模型中提出了若干个假设，其中一个就是股价是GBM的。
问题四：如何确定几何布朗运动模型中的参数 几何布朗运动只是模型，是 exp{Bt }这样的形式。你用模型什么事是关键，确定参数，在英文中叫calibration.
如果你是用 geometric brownian motion 去模型options, 这样的东西，是关系你的模型本身，比如black-scholes模型，关于它的参数calibration，这样的技术其实已经很完备，经典的金融数学教科书上都有的，其主要是根据市场上option的价格反推出模型的参数的。
英国精算专业
英国精算师资格考试背景知识
在英国，要成为精算师，必须通过严格的考试培训并拥有相关实务经验。对于立志从事精算工作、并想成为英国精算学会正式会员的人而言，首先是要具备一定的数学知识，接着要经过一个漫长而艰苦的学习考试过程，还需要至少3年的精算相关工作实务经验，才能从学生会员到准会员最终成为正式会员。为了保持精算师达到最高的职业标准，英国还开展精算师职业持续发展计划（即CPD）对从业精算师进行职业再教育，以发展和拓宽精算师的知识和技能，以适应日益变化的环境的需要。
传统上，精算师在退休金及保险公司风险的管理和控制方面起着重要的、不可替代的作用，现在，精算师的技能也被运用于商业的其它许多领域，目前，在诸如公司财务、资产管理及资本运营等需要对将来的财务状况有清晰把握的领域，精算师也越来越多地参与进去。
最近几年，主要由于私人退休金计划的扩张，在精算顾问公司中已经有很多的全职精算师在工作。精算师同样被雇佣于国内外的政府服务机构中。在英国，他们大部分是在政府精算师部门里。精算技能也被应用于工业和商业领域。伴随着机构投资的快速增长，证券市场及投资活动的其他领域也为精算师提供了新的舞台。在英国，精算师的专业技能被政府、商业机构及其他职业广泛认可，在与金融立法相关的领域也发挥着重要的作用。
为了实现精算会员的价值，专门的技术、正直的人格、严谨坚持原则的工作态度，专业化的水准和时刻服务于公众利益的理念，是他们最基本的执业品德要求。
精算师在保险行业中起着举足轻重的作用。无论是公司的产品设计与定价，还是准备金的提取，以及再保险的安排，精算师都力图保证公司的稳健经营。而委任精算师制度的建立，更是确保了精算师能在保险行业发挥更加全面、更加重要的监管作用。
在英国，由于委任精算师要对公司出具一系列的精算报告，他们实际上被赋予了保险监管的部分职责。他们可以在任何时间对公司的财务状况作出正确的评价，而不仅仅在年末。他们必须对所有可能影响公司财务状况的因素进行细致的监控，主要包括：产品设计、营销方式、保险费率、选择权与收益保证、当前与未来可预见的费用水平、理赔情况及或有债务等。因此，他们被视为公司的关键人物。
当公司管理层不顾劝告，坚持执行一套委任精算师认为可能会造成不良财务后果的计划时，委任精算师有职责向保险监管机构“吹警哨”。
目前，在英国，对于委任精算师的职业管理也已经通过立法形式加以强化，法律规定精算师每年必须向保险监管机构保证自己信守精算职业规范。
英国精算师资格介绍
英国精算师资格是世界上历史最悠久、被广泛承认的国际权威职业资格之一。英国精算师资格由英国两大专业机构The Institute of Actuaries , the Faculty of Actuaries in Scotland（两者合称英国精算师协会）联合认证。前者成立于1848年，后者成立于1856年。
英国精算师协会（www.actuaries.org.uk）的会员分Student,Associate ,Fellow, Honorary Fellow, Affiliate 等5种。Student会员主要是在校研究生，Associate是通过100、200、300系列考试的会员，Fellow是通过所有考试、有三年工作经验、年满23 岁的会员，Honorary Fellow是不交会费的名誉会员，Affiliate是交会费的名誉会员。
英国精算师资格考试体系划分
2000年以后，英国精算师资格考试体系改革为四个系列：100系列（包括金融数学、精算数学、经济学等9门）、200系列（“沟通技”1门）、300系列（《投资和资产组合》、《寿险精算》、《财产险精算》、《养老金》4门）和400系列（从人寿、财产等四种资格考试中选考1门）。
考生通过前三个系列考试的所有考试科目，即可获得准精算师资格证书，再通过“400”系列的任意一门科目后，即可获得英国精算学会和英国精算公会颁发的精算师资格证书。
按照规定，只有英国精算学会的会员方可报名参加考试。
英国精算师资格考试一年举办两次，分别安排在4月和9月。
英国精算师资格考试内容
基础阶段
课程101 统计模型
概率；统计分布；统计模型；数据分析；回归；假设检验；估计
课程102 金融数学
资产类型和证券市场介绍；利率和折现率；利率强度；投资风险、随机利率和折现率；市场模型；
课程103 随机模型
精算建模原理；概率空间；离散时间随机过程；鞅；停止时间；马尔科夫过程；布朗运动；随机微分方程；
课程104 生存模型
生存/转移模型；完全和不完全存活时间的估计；多状态模型的数值；生存经历的比较；修匀；在保险合同中的应用；在年金合同中的应用；在健康险合同中的应用；未来损失，保费和准备金原理；
课程105 精算数学1
盈利业务原理；单位连接业务原理；养老金原理；利润测试；定价；准备金；精算控制系统；养老金数学；计算机应用；拟合；保证和选择权；
课程106 精算数学2
风险模型；损失分布；信度理论；破产理论；未决赔款三角形和无赔款折扣优待；
课程107 经济学
经济学的研究范围；供给、需求和均衡价格；价格管制或供给管制的效果；供给和需求弹性；效用理论和消费者选择；用效用理论对保险问题的分析；市场结构；总均衡理论；公司理论；公共部门金融和税收；国民收入核算；收入的循环流动；乘数和加速数；总需求和总供给；政府财政政策及其效果；政府货币政策及其效果；货币供给和银行系统的信用创造；影响失业、通货膨胀、经济增长的主要因素；货币主义者和凯恩斯的方法；国际贸易、汇率和国际收支平衡；
课程108 财务和财务报告
公司结构和财务；税收的基本原理；个人税和公司税；个人投资征税的原理；公司投资征税的原理；金融市场中主要机构的地位和作用；公司财务的基本结构；集团帐户的基本原理；会计比率的计算和使用；
课程109 金融经济学
衍生证券；自由套利原理；布莱克-休斯模型；套期保值和资产免疫管理；利率的期限结构；
课程201 交流
该课程要求学员向非精算人士解释基础阶段的精算概念或精算控制系统中的技术问题；
应用阶段
课程301 投资和资产管理
课程302 人寿保险
课程303 非寿险
课程304 养老金
会员阶段
会员资格考试有两个独立的测试部分组成。其内容包括投资、寿险、非寿险与养老金，今后可能会为考生提供更多的考试内容选择。会员资格考试要求考生具有高级的分析、综合、判断和交流技能。第一个测试类似于以解决与英国精算实务问题，包括法律、监管知识的闭卷考试；第二阶段是 一种开卷考试或实际案例分析。
英国精算师资格考试课目
各考试科目结构如下：
10x系列，要全部考出：
101:probability and mathematical statistics
102: financial mathematics
103: random models
104: survil models
105: acturial mathematics
106:statistical models
107: economics
108: finance and financial reporting
109: financial economics
取得精算技能证书，
201:comunications
301: investment and asset management
302: life insurance
303: general insurance
304: pensions
30x系列考出后，aia qualified
401~404,
choose one and then fia qualified。
推荐大学及专业
1、肯特大学（Kent）/ 专业： Actuarial Science MSC
肯特大学的精算科学在英国首屈一指、独占鳌头，是培养具有最高专业水准的精算师的摇篮。精算科学硕士研究生项目是肯特大学最具特色、最有吸引力的学位课程，课程设置与英国精算师协会(the Institute and Faculty of Actuaries，www.actuaries.org.uk/ )的精算师国际职业资格考试的科目完全一致。由于肯特大学具有卓越的教学质量（大部分课程由著名精算师主讲）与丰富的实践环节，英国精算师协会承认肯特大学研究生的学分，肯特大学的精算科学硕士毕业生可以免试取得精算师职业资格。关于课程设置请参考以下网站：
www.ukc.ac.uk/IMS/research/groups/actuarial/index.htm
肯特大学的硕士研究生可免试100、300系列考试科目, 400系列可用硕士论文替代。而且，肯特大学是具有免试权仅有的英国两所大学之一。
2. 赫瑞瓦特大学(Heriot-Watt) 专业： Actuarial Science MSc
赫瑞瓦特大学统计学与金融数学系是国际认证的精算教学与研究的领先机构，在全英同领域中享有极高的声誉，其精算数学、金融数学、概率和统计学方面的研究评5分（英国5分制测评最高分）。赫瑞华特大学的精算学硕士课程，是被英国精算学院和精算协会联合指定的行业资格考试同步课程，此专业的学生在成功通过硕士学习之后，将有机会获得免去多达9门的精算师资格考试。
伊藤过程是什么？
控制论的发明人维纳在1923年指出，布朗运动在数学上是一个随机过程，提出了用“随机微分方程”来描述，因此人们也把布朗运动称
为维纳过程；日本数学家伊藤发展建立了带有布朗运动干扰项的随机微分方程，
dx(t)=μ（t,x）dt+σ（t,x）dB
σ（t,x）是干扰强度，μ（t,x）是漂移率
该方程描写的过程是伊藤过程。伊藤过程可看成为一般化的维纳过程，它直接把布朗运动理解为随机干扰，从而赋予了布朗运动最一般的意义。
