虚数单位

时间:2025-01-12 16:09:36编辑:奇闻君

虚数单位是什么呢?

虚数单位是 i 。i = -1,并且i可以与实数在一起按照同样的运算律进行四则运算。虚数单位 i 的幂具有周期性,虚数单位用 i 表示,是欧拉在1748年在其《无穷小分析理论》中提出,但没有受到重视。1801年经高斯系统使用后,才被普遍采用。虚数单位 i 首先为瑞士数学家欧拉所创用,到德国数学家高斯提倡才普遍使用。注意事项一旦固定了方程的一个解 i ,那么−i(不等于 i )也是一个解,由于这个方程是唯一的定义,因此这个定义表面上有歧义。然而,只要把其中一个解选定,并固定为 i ,那么实际上是没有歧义的。这是因为,虽然−i和 i 在数量上不是相等的(它们是一对共轭虚数),但是 i 和−i之间没有质量上的区别(−1和+1就不是这样的)。

虚数单位i等于多少?

i=-1。可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a + bi的复数,其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。一些作者使用术语纯虚数来表示所谓的虚数,虚数表示具有非零虚部的任何复数。i和-i就像1和-1一样,是有区别的,在复变函数中,i复数的研究和复平面是分不开的,任意一个复数z=x+iy,其中x叫做实部,y叫做虚部,x和y都是实数,x+iy就是一个复数。复平面和实平面相仿,x轴表示复数的实部,y轴表示复数的虚部,例如在复平面上的点(2,2)表示复数2+2i,如果以-i为单位,复平面的纵轴就要向下指了。这个复数还可以用指数的形式表示,写作2e^(π/4)虚数单位i就像实数中的1一样,我们认为1和-1不同,是因为我们日常生活中用1作为计数的单位,假设我们的老祖宗用-1作为计数单位,我们现在就会认为-1作为计数单位是天经地义的事情。-1比1多个负号,当然不方便,同样,研究复数中谁也不会多此一举用-i作为单位。规定了i为单位展开对复数的研究,是简便的也是合理的。虚数的实际应用如下:电工学中利用复数表示交流电,虚数代表虚功,使得电工学计算大为简化。交流电路中的阻抗Z,在电工学的计算中是个虚数,即Z=R+jX。其中的实部就是电阻R,虚部就是电抗X,由电感的感抗jXl和电容器的容抗-jXc的和。可以在平面直角坐标系中画出虚数系统。如果利用横轴表示全体实数,那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数,称为复平面。横轴和纵轴也改称为实轴和虚轴。在此时,一点P坐标为P (a,bi),将坐标乘上i即点绕圆心逆时针旋转90度。

虚数是什么?

虚数可以表示为z=a+bi(a、b∈R),当a=0,b≠0时就表示的是纯虚数。

【扩展】
虚数就是其平方是负数的数。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立,因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴,与对应平面上横轴的实数同样真实。
1777年瑞士数学家欧拉(或译为欧勒)开始使用符号i[其中i=√(-1)]表示虚数的单位,后来人们将虚数和实数有机地结合起来,写成a+bi形式,其中a称为该虚数的实部,b称为该虚数的虚部,且a、b均为实数,当复数的实部为0且虚部不为0时,平方是负数的数定义为纯虚数
即为已知:当b=0时,z=a,这时复数成为实数 当a=0且b≠0时,z=bi,我们就将其称为纯虚数。
负数是纯虚数的充要条件:
1:z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数a=0且b≠0
2:z是纯虚数z+z'=0且z≠0
3: z是纯虚数z²<0


什么是虚数?

什么是虚数?
负数开平方,在实数范围钉无解。

数学家们就把这种运算的结果叫做虚数,因为这样的运算在实数范围内无法解释,所以叫虚数。

实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数,起名为复数。

于是,实数成为特殊的复数(缺序数部分),虚数也成为特殊的复数(缺实数部分)。



虚数单位为i, i即根号负1。

3i为虚数,即根号(-3), 即3×根号(-1)

2+3i为复数,(实数部分为2,虚数部分为3i)
什么是虚数单位?
i的平方=-1

i就是虚数单位

高三数学课本上有

我们将形如:Z=x+iy的数称为复数,其中i为虚数单位,并规定i^2=i*i=-1.x与y是任意实数,依次称为z的实部(real part)与虚部(imaginary part),分别表示为Rz=x , Im z=y. 易知:当y=0时,z=x+iy=x+0,我们就认为它是实数;当x=0时z=x+iy=0+iy我们就认为它是纯虚数。设 Z1=x+iy是一个复数,称 Z2=x-iy为Z1的共轭复数。

复数的四则运算规定为:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,

(a+bi)•(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i,

(c与d不同时为零)

(a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd) / (c^2+d^2)]+[(bc-ad) / (c^2+d^2)] i,

(c+di)不等于0

复数有多种表示形式,常用形式 z=a+bi 叫做代数式。

此外有下列形式。

①几何形式。复数z=a+bi 用直角座标平面上点 Z(a,b )表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。

②向量形式。复数z=a+bi用一个以原点O为起点,点Z(a,b)为终点的向量OZ表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。

③三角形式。复数z=a+bi化为三角形式

z=r(cosθ+sinθi)

式中r= sqrt(a^2+b^2),叫做复数的模(或绝对值);θ 是以x轴为始边;向量OZ为终边的角,叫做复数的辐角。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。

④指 数形式。将复数的三角形式 z=r( cosθ+isinθ)中的cosθ+isinθ换为 exp(iθ),复数就表为指数形式z=rexp(iθ)

复数三角形式的运算:

设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2),那么z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]

z1÷z2=r1÷r2[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],若复数z的三角形式为r(cosθ+isinθ),那么z^n=r^n(cosnθ+isinnθ),n√z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=1,2,3……)必须记住:z的n次方根是n个复数。

复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行。复数集不同于实数集的几个特点是:开方运算永远可行;一元n次复系数方程总有n个根(重根按重数计);复俯不能建立大小顺序。

高考的话出在第一道选择题上


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