设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的n×n的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：
定义：A关于第i行第j列的余子式（记作M??）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n?1)×(n?1)矩阵的行列式。
定义：A关于第i行第j列的代数余子式是：
C??=(?1)???M??。
定义：A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C，使得其第i行第j列的元素是A关于第i行第j列的代数余子式。
引入以上的概念后，可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵：
adj(A)=C?，
也就是说，A的伴随矩阵是一个n×n的矩阵（记作adj(A)），使得其第i行第j列的元素是A关于第j行第i列的代数余子式。简言之，伴随矩阵就是把原来矩阵每一行的代数余子式竖着写：
[adj(A)]??=C??。
2x2矩阵2x2矩阵：
伴随矩阵
它的伴随矩阵：
伴随矩阵
3x3矩阵对于3x3的矩阵，情况稍微复杂一点：
伴随矩阵
其伴随矩阵是：
伴随矩阵
其中
伴随矩阵
要注意伴随矩阵是余子矩阵的转置，因此第3行第2列的系数是A关于第2行第3列的代数余子式。
对于数值矩阵，例如求矩阵的伴随矩阵adj(A)，只需将数值代入上节得到的表达式中。即：
伴随矩阵
只需将数值代入上节得到的表达式中。
即：adj(A)??=C??=（?1）???(M??)。
其中，M??为删掉矩阵?{displaystyle A}?的第i横列与第j纵行后得到的行列式，C??为矩阵A的余因子。
例如adj(A)中第3行第2列的元素为
伴随矩阵
依照其顺序一一计算，便可得到计算后的结果是：
伴随矩阵
作为拉普拉斯公式的推论，关于n×n矩阵A的行列式，有：
A adj(A)=adj(A)A=det(A)I（?）
其中I是n阶的单位矩阵。事实上，A?adj(A)的第i行第i列的系数是
伴随矩阵
根据拉普拉斯公式，等于A的行列式。
如果i?≠?j，那么A?adj(A)的第i行第j列的系数是
伴随矩阵
拉普拉斯公式说明这个和等于0（实际上相当于把A的第j行元素换成第i行元素后求行列式。由于有两行相同，行列式为0）。
由这个公式可以推出一个重要结论：交换环R上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。
这是因为如果A可逆，那么
1=det(I)=det(A A?1)=det(A?1)
如果det(A)是环中的可逆元那么公式（*）表明
A?1=det(A)?1adj(A)
伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具，伴随矩阵的一些新的性质被不断发现与研究。对n×n的矩阵A和B，有：
1.adj(I)=I
2.adj(AB)=adj(B)adj(A)
3.adj(A?)=adj(A)?
4.det(adj(A))=det(A)??1
5.adj(kA)=k??1adj(A)
6.当n>2时，adj(adj(A))=(det A)??2A
7.如果A可逆，那么adj(A)?1=adj(A)?1=A/detA
8.如果A是对称矩阵，那么其伴随矩阵也是对称矩阵；如果A是反对称矩阵，那么当n为偶数时，A的伴随矩阵也是反对称矩阵，n为奇数时则是对称矩阵。
9.如果A是（半）正定矩阵，那么其伴随矩阵也是（半）正定矩阵。
10.如果矩阵A和B相似，那么adj(A)和adj(B)也相似。
11.如果n>2，那么非零矩阵A是正交矩阵当且仅当adj(A)=±A?
当矩阵A可逆时，它的伴随矩阵也可逆，因此两者的秩一样，都是n。当矩阵A不可逆时，A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1时，其伴随矩阵的秩为1，当A的秩小于n-1时，其伴随矩阵为零矩阵。
设矩阵A在复域中的特征值为λ?，λ?…λ?(即为特征多项式的n个根），则A的伴随矩阵的特征值为
λ?λ?…λ?，λ?λ?…λ?，…，λ?λ?…λ???。
设p(t)=det(A-tI)为A的特征多项式，定义q(t)=(p(0)-p(t))/t，那么：
adj(A)=q(A)=-(p?I+p?A+p?A2+…+p?A??1)，
其中p?是p(t)的各项系数：
p(t)=p?+p?t+p?t2?+…p?t?。
伴随矩阵也出现在行列式的导数形式中。[1]
