数论中以分析方法作为研究工具的一个分支。分析方法在数论中的应用可以追溯到18世纪L.欧拉的时代。欧拉证明了，对实变数有恒等式（式中s取遍所有素数）成立，并且由此推出素数有无穷多个。欧拉恒等式是数论中最主要的定理之一。随后P.G.L.狄利克雷创立了研究数论问题的两个重要工具，即狄利克雷（剩余）特征标与狄利克雷L函数，奠定了解析数论的基础。
解析数论是在初等数论无法解决的情况下发展起来的，因为，如果有了一个可以表达所有素数的素数普遍公式，一些由解析数论范围的内容，就自动转到初等数论的范围内。例如孪生素数猜想。以及哥德巴赫猜想。
联系数论和复变函数论的桥梁是所谓的佩隆公式(Peron). 很多数论问题可以归结为某类求和函数的估计问题，而利用佩隆公式，就可以将求和函数的估计转变为某类复变函数的零点、极点的分布情况的估计。大多数数论问题最终都能归结为L函数的性质讨论。
令表示不超过.x的素数的个数，关于的研究是素数论的中心问题，黎曼在数论中引入复变函数，称为黎曼ζ函数（见数论），他对这个函数作了深入的研究，得到了许多重要结果。特别是，他建立了一个与的零点有关的表示的公式，因此研究素数分布问题的关键在于研究的性质特别是它的零点的性质。这样，黎曼开创了解析数论的一个新时期。黎曼提出一个猜想：的所有复零点都在直线上，这就是所谓黎曼猜想。它是尚未解决的最著名的数学问题之一。
1896年，J.阿达马与C.J.dela瓦莱-普桑用解析方法同时并且相互独立地证明了素数定理即当时，（这个问题最早由高斯提出），从此解析数论开始得到迅速发展。1949年，A.塞尔伯格与P.爱尔特希分别给出了对于素数定理的一个十分初等的分析证明，当然它是很复杂的。
解析数论起源于素数分布、哥德巴赫猜想、华林问题以及格点问题的研究、解析数论的方法主要有复变积分法、圆法、筛法、指数和方法、特征和方法、密率等。
Fibonacci函数，
欧拉恒等式(*)是数论中最重要的定理之一，是算术基本定理的解析等价形式，揭示了素数p和自然数n之间的积性关系。他还提出了母函数法，利用幂级数来研究整数分拆，这导致圆法和指数和方法的产生。其后，P.G.L.狄利克雷应用分析方法于1837年解决了首项与公差互素的算术级数中有无限多个素数的问题，又于1839年推证出二次域的类数公式。他创立了研究数论的两个重要工具，即狄利克雷(剩余)特征标与狄利克雷l函数，奠定了解析数论的基础。
1859年,（G.F.）B.黎曼发表了一篇关于不大于x的素数个数π(x)的著名论文《论不大于一个给定值的素数个数》，这是他在数论方面公开发表的惟一的文章。他把恒等式的右边的级数记作，所不同之处是把s看作复变数。现在称为黎曼ζ函数。他认为素数性质可以通过复变函数来探讨，并对复变函数ζ(s)做了深刻的研究，得到许多重要结果。特别是他建立了一个与的零点有关的表示π(x)的公式。因此研究素数分布的关键在于研究复变函数 的性质，特别是的零点性质。这一杰出的工作，是复变函数论的思想和方法应用于数论研究的结果。黎曼开创了解析数论的新时期，也推动了单复变函数论的发展。在文章中他提出了一个猜想：的所有复零点都在直线上。这就是所谓黎曼猜想。它是至今没有解决的最著名的数学问题之一。它的研究对解析数论和代数数论的发展都有极其深刻的影响。
解析数论
1896年,J.（-S.）阿达马与C.de la瓦莱-普桑严格地按照黎曼提出的方法和结果，用整函数理论，同时证明了素数定理：当时,。从此解析数论开始得到迅速发展，而在此以前的30年中却无显着进展。在数论中应用分析方法，大致有两种情况：一是数论问题本身不涉及分析概念。这类问题又可分为两种情形，或者有一些问题不应用分析方法就不能解决，例如，上述的狄利克雷的两个工作、三素数定理（见数论、堆垒数论）、华林问题；或者有一些问题应用分析方法可使证明简单、可以对问题做定量研究，例如，应用母函数法对整数分拆的一些恒等式的证明、欧拉证明素数有无穷多个的分析方法导致H.默滕斯证明了关于素数平均分布的三个定理、堆垒数论的许多问题引入分析方法证明解的存在性，得出解数的渐近公式或上下界估计。二是数论问题本身必须用分析概念才能表达清楚。例如，关于素数定理，即不大于x的素数个数等于多少的问题（见素数分布）。此外，利用分析概念还可提出新的数论问题，例如各种数论函数的阶估计及均值估计（见格点问题）。
解决一个数论问题需要用到多深的分析工具，或者能否不用分析工具。这也是数学家努力为之探索的问题。例如，在1949年A.赛尔伯格与P.爱尔特希不利用ζ函数，且除了极限、ex和lnx的性质外，也不需要其他的分析知识，给出了素数定理一个十分初等的分析证明。当然它是很复杂的。解析数论起源于素数分布、哥德巴赫猜想、华林问题以及格点问题的研究。解析数论的方法主要有复变积分法、圆法、筛法、指数和方法、特征和方法、密率等。模形式论与解析数论有密切关系。
素数方程素数，即我们中小学学到的质数，从乘法角度讲，相当于构成整数的“原子”。Goldbach猜想，即是一种素数方程问题，即方程的解集在素数集合里考虑。
Fields奖得主Bombieri在大筛法方面做出了重要工作，从而给陈景润等一批中国数学家带来机会，先是潘承洞解决了型问题，王元解决型的同时构造出了后续攻击路线的解决框架，包括，最后由陈景润解决了型问题，一直到现在都无法改进，是中国数学家目前为止最拿得响的工作，因为目前谁也做不出最难的型。
素数方程方面，1998年Fields奖得主Gowers获奖之后，紧接着在整数方程做出了开创性的工作，然后由Terence Tao（陶哲轩）和Ben Green推广到素数方程方面，这个推广，很不平凡，陶哲轩获得了2006年Fields奖。
Gowers-Tao-Green的思想，将素数方程做了系统的突破，可以解决绝大多数的线性方程组问题，唯独不能攻击Goldbach猜想。
素数方程方面，一直以来有两大方法：筛法和圆法。前者自古希腊时期就被发现，陈景润的工作，就是动用此法。圆法，则是英国剑桥的Hardy-Littlewood-Ramanujan发明，至今也应用了90多年了。
Gowers-Tao-Green，其价值地位相当于第三种方法出世，正是因为增加了新的理解，才有可能得到新的突破性结果。Gowers-Tao-Green增加的是哪种新思想，这种新思想，除了素数方程的数论问题之外，亦很可能对其他数学领域也产生深刻影响。
经典解析数论在素数方程方面的研究思路是：
A-Step 1. Summation Formulas (各种求和公式)
A-Step 2. Equations Detect (方程探测)
L-函数一般地说，?-函数来源由两类组成：算术L-函数和自守L-函数。这两者又是密切联系在一起的，根据罗伯特·朗兰兹的猜想，笼统地说，一切有意义的L-函数都来自自守L-函数。
算术L-函数
简单地说，
同样地，狄利克雷在研究算术级数中的素数分布时，引入了Dirichlet L-函数：
Dedekind zeta-函数：设?为一代数数域，
椭圆曲线的Haass-Weil L-函数：设?为一非奇异的椭圆曲线?定义?为曲线在有限域?上的解，设，则下面的级数称为关于曲线的Haass-Weil L-函数
阿廷L-函数：设?是一个有限维的伽罗瓦表示，其中?为一代数数域，
自守L-函数
全纯模形式的L-函数，Maass L-函数，标准L-函数等等。
研究内容
根据罗伯特·朗兰兹在国际数学家大会上的报告所指，研究一个L-函数主要有三部分内容：
解析延拓
L-函数的解析延拓和函数方程这是最基本的一部分。对于一般的自守L-函数这是较容易得到的，但是对算术的L-函数这一部分并不是容易得到的。例如，对于Haass-Weil L-函数，这部分就是谷山-志村猜想，该猜想一部分就能推出费尔马大定理。关于阿廷L-函数的全纯解析沿拓的阿廷猜想也是数论中重要的未知问题。
对于数学对象?的L-函数，我们定义其的gamma因子为
其中?为复参数。
定义下面关于?的完全?-函数
那么，一般地我们有函数方程
其中?为模为1的复数，为关于?的对偶对象。
零点的分布
非零区域：如黎曼zeta函数的目前最好的非零区域为
黎曼猜想和广义黎曼猜想问题：
在假设黎曼猜想下，零点虚部的分布问题与随机矩阵的联系等等。
特殊点的值
中心值，临界点，整点的值，极点的留数等。这里面也有很多猜想，像BSD猜想，类数问题，Deligne 猜想，Beilinson 猜想，Goldfeld猜想。其实往往我们重要的不仅是关心它具体有多大，而是关心的这个量里面隐含着什么样的算术意义。像Dedekind zeta 函数在s=1处的留数，里面包含了一个数域的很多不变量：类数，判别式，regular等；BSD猜想就是Haass-Weil L-函数在中心点的的阶就是该椭圆曲线的秩！
