幂集

时间:2023-05-01 07:19:51编辑:奇闻君

所谓幂集,就是原集合中所有的子集(包括全集和空集)构成的集族。可列集是最小的无限集;它的幂集和实数集一一对应(也称同势),是不可列集。不是所有不可列集都和实数集等势,集合的势可以无限的大。如实数集的幂集也是不可数集,但它的势比实数集大。

设X是一个有限集,,则X的幂集为2的k次方。

康托第一个认真研究了无限集合,分清了可列集和不可数集的区别,并用对角线法证明了实数集不是可列集。此外,康托指出了幂集的势总是严格大于原集合。由此结论导致了康托猜想(即连续统假设)和康托悖论。

不存在一个集合,它的势严格大于可列集的势,同时严格小于实数集的势。

逻辑学家歌德尔证明了这个连续统假设是不能被证明的,也不能被证伪--就是说不能从现有的数学公理体系推演出该结论或者否定该结论。

康托悖论:考虑所有的集合组成的最大的集族,这个集族的幂集当然也是集合,所以本身也是该集合的一部分,从而它的势应该不超过原集合的势;但是另一方面,幂集的势有严格大于原集合的势,从而导致矛盾。

罗素首先意识到集合的概念存在问题。他提出所谓的类型论,指出有一类“集合”并不是真正的集合,而是所谓的“类”,集合本身是不能包含自身的;“类”却可以。从这个角度出发,就可以解释上述的悖论。

来证明实数区间中所有的实数组成的集合是不可列集。

其实只要证明区间的实数集是不可数的。如果它是可数的,说明其中所有的实数均可排列成一数列,只有这样,它才能对等于自然数集。这时将(0,1]中的实数用十进制的无限小数表示:

..

..

其中所有的tij都是0~9这十个数字中的某一个。

但是我们可以构造一个小数,任意的ai也都是0~9这十个数字中的某一个,但我们让每个ai都不等于上述实数列中的tii,也就是让第i位的数字跟数列中第i行第i个数字不同。这是可行的,因为我们用的是十进制小数,还剩下9个不同数字可供选择呢。

当我们构造好了这样的一个小数之后,我们发现它实际上跟上述小数列中的任何一个都不相等。这就造成了逻辑上的矛盾,你说已经把所有小数都列出来了,但是我却发现至少我构造的这个小数,你还没有罗列出来。就算你亡羊补牢,把我这个也补充进去,但是我还是可以根据同样规则又构造出另一个。所以,只能说明实数是无法跟可数集形成一一对应的,也就是前面的假设是错误的。

因此[0, 1]区间的实数不是可数集。同样,取掉0,1两个数之后的(0,1)区间的实数也不是可数集。

设集合A是有基数Card(A)的有限集(可数集),则。

如集合,得。那么,显然上述公式是正确的。考虑特殊情况空集合的幂集:空集合仅有子集,得到。

设有集合A,由A的所有子集组成的集合,称为A的幂集,记作2,即:。

幂集是集合的基本运算之一。由集合的所有子集构成的集合。对任何集合a,a的幂集。在ZFC公理系统中,幂集公理保证任何集合的幂集均为集合。如.P(·)称为幂集运算。

康托尔定理为。?

康托第一个认真研究了无限集合, 分清了可数集和不可数集的区别, 并用对角线法证明了实数集不是可数集。此外,康托指出了幂集的势总是严格大于原集合。由此结论导致了康托猜想(即连续统假设)和康托悖论。

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