朱世杰是元朝一位杰出的数学科学家。朱世杰，字汉卿，号松庭，燕山(今北京)人氏。他长期从事数学研究和教育事业，以数学名家周游各地20 多年，四方登门来学习的人很多。他的主要著作有《算学启蒙》三卷和《四元玉鉴》三卷。
说起朱世杰周游各地，这里还有一段鲜为人知的佳话。
13 世纪末，历经战乱的祖国为元王朝所统一，遭到破坏的经济和文化又很快繁荣起来。蒙古统治者为了兴邦安国，便尊重知识，选拔人才，把各门科学推向新的高峰。
有一天，风景秀丽的扬州瘦西湖畔，来了一位教书先生，在寓所门前挂起一块招牌，上面用大字写着：“燕山朱松庭先生，专门教授四元术”。不几天，朱世杰门前门庭若市，求知者络绎不绝，就在朱世杰在接待学生报名之时，突然一声声叫骂声引起他的注意。
只见一穿绸戴银半老徐娘，追着一年轻的姑娘，边打边骂：“你这贱女人，大把的银子你不抓，难道想做大家闺秀，只怕你投错了胎，下辈子也别想了。”
那姑娘被打得皮开肉绽，连内身衣服都被撕坏了。姑娘蜷成一团，任凭她打，也不跟她回去。
朱世杰路见不平，便上前询问，那半老徐娘见冒出一个爱管闲事之人，就嘲笑道：“你难道想抱打不平，你送上50 两银子，这姑娘就归你了!”
朱世杰见此情景，大怒道：“难道我掏不出50 两银子。光天化日之下，竟胡作非为，难道没有王法不成?”
那半老徐娘讽刺道：“你这穷鬼，还谈什么王法，银子就是王法，你若能掏出50 两银子，我便不打了。”
朱世杰愤怒已极，从口袋里抓出50 两银子，摔在半老徐娘面前，拉起姑娘就回到自己的教书之地。原来，那半老徐娘是妓女院的鸨母，而这姑娘的父亲因借鸨母的10 两银子，由于天灾，还不起银子，只好卖女儿抵债。今天碰巧遇上朱世杰，才把姑娘救出苦海。
后来，在朱世杰的精心教导下，这姑娘也颇懂些数学知识，成了朱世杰的得力助手，不几年，两人便结成夫妻。所以，扬州民间至今还流传着这样一句话：
元朝朱汉卿，教书又育人，
救人出苦海，婚姻大事成。
上面这段佳话是不是事实，已不好考证，但说明了朱世杰在做学问的同时，还有着一颗慈爱的心。再说朱世杰在数学科学上，全面地继承了秦九韶、李冶、杨辉的数学成就，并给予创造性的发展，写出了《算学启蒙》、《四元玉鉴》等著名作品，把我国古代数学推向更高的境界，形成宋元时期中国数学的最高峰。
《算学启蒙》是朱世杰在元成宗大德三年(1299)刊印的，全书共三卷，20 门，总计259 个问题和相应的解答。这部书从乘除运算起，一直讲到当时数学发展的最高成就“天元术”，全面介绍了当时数学所包含的各方面内容。它的体系完整，内容深入浅出，通俗易懂，是一部很著名的启蒙读物。这部著作后来流传到朝鲜、日本等国，出版过翻刻本和注释本，产生过一定的影响。
而《四元玉鉴》更是一部成就辉煌的数学名著。它受到近代数学史研究者的高度评价，认为是中国古代数学科学著作中最重要的、最有贡献的一部数学名著。
《四元玉鉴》成书于大德七年(1303)，共三卷，24 门，288 问，介绍了朱世杰在多元高次方程组的解法——四元术，以及高阶等差级数的计算——垛积术、招差术等方面的研究和成果。
“天元术”是设“天元为某某”，即某某为x。但当未知数不止一个的时候，除设未知数天元(x)外，还需设地元(y)、人元(z)及物元(u)，再列出二元、三元甚至四元的高次联方程组，然后求解。
这在欧洲，解联立一次方程开始于16 世纪，关于多元高次联立方程的研究还是18 至19 世纪的事了。朱世杰的另一重大贡献是对于“垛积术”的研究。他对于一系列新的垛形的级数求和问题作了研究，从中归纳为“三角垛”的公式，实际上得到了这一类任意高阶等差级数求和问题的系统、普遍的解法。
朱世杰还把三角垛公式引用到“招差术”中，指出招差公式中的系数恰好依次是各三角垛的积，这样就得到了包含有四次差的招差公式。他还把这个招差公式推广为包含任意高次差的招差公式，这在世界数学史上是第一次，比欧洲牛顿的同样成就要早近4 个世纪。正因为如此，朱世杰和他的著作《四元玉鉴》才享有巨大的国际声誉。
近代日本、法国、美国、比利时以及亚、欧、美许多国家都有人向本国介绍《四元玉鉴》。
美国已故的著名的科学史家萨顿是这样评说朱世杰的：“(朱世杰)是中华民族的、他所生活的时代的、同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学科学家。”;“《四元玉鉴》是中国数学著作中最重要的，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一。它是世界数学宝库中不可多得的瑰宝。”
从此中可以看出，宋元时期的科学家及其著作，在世界数学史上起到了不可估量的作用。除了以上成就外，朱世杰还在他的著作中提出了许多值得注意的内容：
1.在中国数学史上，他第一次正式提出了正负数乘法的正确法则;
2.他对球体表面积的计算问题作了探讨，这是我国占代数学典籍中唯一的一次讨论。结论虽不正确，但创新精神是可贵的;
3.在《算学启蒙》中，他记载了完整的“九归除法”口诀，和现在流传的珠算归除口诀几乎完全一致。
总之，朱世杰继承和发展了前人的数学成就，为推进我国古代数学科学的发展做出了不可磨灭的贡献。朱世杰不愧是我国乃至世界数学史上负有盛名的数学家。
由于朱世杰和其他同时代数学家的共同努力，使宋元时期的数学达到了光辉的高度，在很多方面都居于世界前列。
自朱世杰之后，我国这种在数学上高度发展的局面不但没有保持发展下去，反而很多成就在明、清一段时期内失传。这实在是科学史上的一件憾事。
