知识点：《数列公式》 收集：应伎撑 编辑：荷花仙子
本知识点包括：1、数学数列的公式是什么？ 2、求数列通项公式an和前n项和Sn的方法 3、自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导 4、数列是必修几的内容 5、如何求一个数列的通项公式 。
《数列公式》相关知识
1.等差数列：an=a1+(n-1)d=Sn-S(n-1)(n≥2)=kn+b
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
an=am+(n-m)d
2.等比数列：an=a1q^(n-1)=Sn-S(n-1)(n≥2)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q) (q≠1) 或q=1,Sn=na1
an=amq^(n-m)
参考思路：
等差数列
等差公式：an=a1+(n-1)d
等差求和：Sn=n (a1+an)／2
=na1+n(n-1)d／2
3．等比数列
等比公式:an=a1.q^(n-1)
等比求和:sn=a1(1-q^n)／(1-q)
=a1-an.q／(1-q)
知识拓展：
1：【高中数列所有公式】
知识要点归纳：
数列求和常用公式:
1）1+2+3+.+n=n(n+1)÷2
2）1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)÷6
3） 1^3+2^3+3^3+.+n^3=( 1+2+3+.+n)^2
=n^2*(n+1)^2÷4
4） 1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)÷3
5） 1*2*3+2*3*4+3*4*5+.+n(n+1)(n+2)
=n(n+1)(n+2)(n+3)÷4
6） 1+3+6+10+15+.
=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+.+(1+2+3+...+n)
=[1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷6
7）1+2+4+7+11+.
=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+.+(1+1+2+3+...+n)
=(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)]/2
=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷6
8）1/2+1/2*3+1/3*4+.+1/n(n+1)
=1-1/(n+1)=n÷(n+1)
9）1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+.+1/1+2+3+...+n)
=2/2*3+2/3*4+2/4*5+.+2/n(n+1)
=(n-1) ÷(n+1)
10）1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+.+(n-1)/2*3*4*...*n
=(2*3*4*...*n- 1)/2*3*4*...*n
11）1^2+3^2+5^2+.(2n-1)^2=n(4n^2-1) ÷3
12）1^3+3^3+5^3+.(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)
13）1^4+2^4+3^4+.+n^4
=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) ÷30
14）1^5+2^5+3^5+.+n^5
=n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1) ÷ 12
15）1+2+2^2+2^3+.+2^n=2^(n+1) – 1
ps：数列的性质：
等差数列的基本性质
⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d．
⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd．
⑶若{ a }、{ b }为等差数列,则{ a ±b }与{ka ＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．
⑷对任何m、n ,在等差数列{ a }中有：a = a + (n－m)d,特别地,当m = 1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性．
⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等）,那么当{a }为等差数列时,有：a + a + a + … = a + a + a + … ．
⑹公差为d的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为kd( k为取出项数之差)．
⑺如果{ a }是等差数列,公差为d,那么,a ,a ,…,a 、a 也是等差数列,其公差为－d；在等差数列{ a }中,a －a = a －a = md ．(其中m、k、 )
⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
⑼当公差d＞0时,等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时,等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时,等差数列中的数等于一个常数．
⑽设a ,a ,a 为等差数列中的三项,且a 与a ,a 与a 的项距差之比 = （ ≠－1）,则a = ．
5．等差数列前n项和公式S 的基本性质
⑴数列{ a }为等差数列的充要条件是：数列{ a }的前n项和S 可以写成S = an + bn的形式(其中a、b为常数)．
⑵在等差数列{ a }中,当项数为2n (n N )时,S －S = nd, = ；当项数为(2n－1) (n )时,S －S = a , = ．
⑶若数列{ a }为等差数列,则S ,S －S ,S －S ,…仍然成等差数列,公差为 ．
⑷若两个等差数列{ a }、{ b }的前n项和分别是S 、T (n为奇数),则 = ．
⑸在等差数列{ a }中,S = a,S = b (n＞m),则S = (a－b)．
⑹等差数列{a }中, 是n的一次函数,且点（n, ）均在直线y = x + (a － )上．
⑺记等差数列{a }的前n项和为S ．①若a ＞0,公差d＜0,则当a ≥0且a ≤0时,S 最大；②若a ＜0 ,公差d＞0,则当a ≤0且a ≥0时,S 最小．
3．等比数列的基本性质
⑴公比为q的等比数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等比数列,其公比为q ( m为等距离的项数之差)．
⑵对任何m、n ,在等比数列{ a }中有：a = a · q ,特别地,当m = 1时,便得等比数列的通项公式,此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．
⑶一般地,如果t ,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且t + k,p,…,m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等),那么当{a }为等比数列时,有：a ．a ．a ．… = a ．a ．a ．… ．．
⑷若{ a }是公比为q的等比数列,则{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比数列,其公比分别为| q |}、{q }、{q}、{ }．
⑸如果{ a }是等比数列,公比为q,那么,a ,a ,a ,…,a ,…是以q 为公比的等比数列．
⑹如果{ a }是等比数列,那么对任意在n ,都有a ·a = a ·q ＞0．
⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列,且公比等于这两个数列的公比的积．
⑻当q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0时,等比数列为递增数列；当a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1时,等比数列为递减数列；当q = 1时,等比数列为常数列；当q＜0时,等比数列为摆动数列．
4．等比数列前n项和公式S 的基本性质
⑴如果数列{a }是公比为q 的等比数列,那么,它的前n项和公式是S =
也就是说,公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值,分段的界限是在q = 1处．因此,使用等比数列的前n项和公式,必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1,如果q可能等于1,则需分q = 1和q≠1进行讨论．
⑵当已知a ,q,n时,用公式S = ；当已知a ,q,a 时,用公式S = ．
⑶若S 是以q为公比的等比数列,则有S = S ＋qS ．⑵
⑷若数列{ a }为等比数列,则S ,S －S ,S －S ,…仍然成等比数列．
⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S 与T ,次n项和与次n项积分别为S 与T ,最后n项和与n项积分别为S 与T ,则S ,S ,S 成等比数列,T ,T ,T 亦成等比数列
2：求所有的数列的通项公式Sn=a1+a2+a3+..+anan=Sn-Sn-1请问下Sn-1怎么求等于多少?n是下标n-1也是下标还有没有其他的数列的通项公式初了等比的和等差的通项公式,请告之其他的通项公式!
知识要点归纳：
没了,基本数列公式就是等比和等差数列的求和公式,其他都可以转化成为基本数列求和公式
3：【关于高中数学“数列”的所有有关公式数列的公式】
知识要点归纳：
等比数列：
若q＝1 则S=n*a1
若q≠1
S=a1+a1*q+a1*q^2+……+a1*q^(n-1)
等式两边同时乘q
S*q=a1*q+a1*q^2+a1*q^3+……+a1*q^
1式－2式 有
S=a1*(1-q^n)/(1-q)
等差数列
S=a1+(a1+d)+(a1+2d)+……(a1+(n-1)*d)
把这个公式倒着写一遍
S=(a1+(n-1)*d) +(a1+(n-2)*d)+(a1+(n-3)*d)+……＋a1
上两式相加有
S＝(2a1+(n-1)d)*n/2=n*a1+n*(n-1)*d/2
一、 等差数列
如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用字母d表示.
等差数列的通项公式为：
an=a1+(n-1)d (1)
前n项和公式为：
Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)
从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.
在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项.
,
且任意两项am,an的关系为：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式.
从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}
若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有
am+an=ap+aq
Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1
Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.
和＝（首项＋末项）*项数÷2
项数＝（末项-首项）÷公差＋1
首项=2和÷项数-末项
末项=2和÷项数-首项
项数=(末项－首项）/公差＋1
等差数列的应用：
日常生活中,人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别
时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,长安等差数列进行分级.
若为等差数列,且有ap=q,aq=p.则a(p+q)＝－（p+q).
若为等差数列,且有an=m,am=n.则a(m+n)＝0.
等比数列：
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.
（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^（n－1）
（2）前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)
且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)
（3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}
（4）若m,n,p,q∈N*,则有：ap·aq=am·an,
等比中项：aq·ap=2ar ar则为ap,aq等比中项.
记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.
性质：
①若 m、n、p、q∈N,且m＋n=p＋q,则am·an=ap*aq；
②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.
在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.
注意：上述公式中A^n表示A的n次方.
等比数列在生活中也是常常运用的.
如：银行有一种支付利息的方式---复利.
即把前一期的利息赫本金价在一起算作本金,
在计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利.
按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)存期
4：高中数列全部公式有关于数列什么等差等比数列的全部公式还有总和公式
知识要点归纳：
等差数列
等差公式：an=a1+(n-1)d
等差求和：Sn=n (a1+an)／2
=na1+n(n-1)d／2
⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d．
⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd．
⑶若{ a }、{ b }为等差数列,则{ a ±b }与{ka ＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．
⑷对任何m、n ,在等差数列{ a }中有：a = a + (n－m)d,特别地,当m = 1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性．
⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等）,那么当{a }为等差数列时,有：a + a + a + … = a + a + a + … ．
⑹公差为d的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为kd( k为取出项数之差)．
⑺如果{ a }是等差数列,公差为d,那么,a ,a ,…,a 、a 也是等差数列,其公差为－d；在等差数列{ a }中,a －a = a －a = md ．(其中m、k、 )
⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
⑼当公差d＞0时,等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时,等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时,等差数列中的数等于一个常数．
⑽设a ,a ,a 为等差数列中的三项,且a 与a ,a 与a 的项距差之比 = （ ≠－1）,则a = ．
等差数列前n项和公式S 的基本性质
⑴数列{ a }为等差数列的充要条件是：数列{ a }的前n项和S 可以写成S = an + bn的形式(其中a、b为常数)．
⑵在等差数列{ a }中,当项数为2n (n N )时,S －S = nd, = ；当项数为(2n－1) (n )时,S －S = a , = ．
⑶若数列{ a }为等差数列,则S ,S －S ,S －S ,…仍然成等差数列,公差为 ．
⑷若两个等差数列{ a }、{ b }的前n项和分别是S 、T (n为奇数),则 = ．
⑸在等差数列{ a }中,S = a,S = b (n＞m),则S = (a－b)．
⑹等差数列{a }中, 是n的一次函数,且点（n, ）均在直线y = x + (a － )上．
⑺记等差数列{a }的前n项和为S ．①若a ＞0,公差d＜0,则当a ≥0且a ≤0时,S 最大；②若a ＜0 ,公差d＞0,则当a ≤0且a ≥0时,S 最小．
3．等比数列
等比公式:an=a1.q^(n-1)
等比求和:sn=a1(1-q^n)／(1-q)
=a1-an.q／(1-q)
⑴公比为q的等比数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等比数列,其公比为q ( m为等距离的项数之差)．
⑵对任何m、n ,在等比数列{ a }中有：a = a · q ,特别地,当m = 1时,便得等比数列的通项公式,此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．
⑶一般地,如果t ,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且t + k,p,…,m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等),那么当{a }为等比数列时,有：a ．a ．a ．… = a ．a ．a ．… ．．
⑷若{ a }是公比为q的等比数列,则{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比数列,其公比分别为| q |}、{q }、{q}、{ }．
⑸如果{ a }是等比数列,公比为q,那么,a ,a ,a ,…,a ,…是以q 为公比的等比数列．
⑹如果{ a }是等比数列,那么对任意在n ,都有a ·a = a ·q ＞0．
⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列,且公比等于这两个数列的公比的积．
⑻当q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0时,等比数列为递增数列；当a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1时,等比数列为递减数列；当q = 1时,等比数列为常数列；当q＜0时,等比数列为摆动数列．
4．等比数列前n项和公式S 的基本性质
⑴如果数列{a }是公比为q 的等比数列,那么,它的前n项和公式是S =
也就是说,公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值,分段的界限是在q = 1处．因此,使用等比数列的前n项和公式,必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1,如果q可能等于1,则需分q = 1和q≠1进行讨论．
⑵当已知a ,q,n时,用公式S = ；当已知a ,q,a 时,用公式S = ．
⑶若S 是以q为公比的等比数列,则有S = S ＋qS ．⑵
⑷若数列{ a }为等比数列,则S ,S －S ,S －S ,…仍然成等比数列．
⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S 与T ,次n项和与次n项积分别为S 与T ,最后n项和与n项积分别为S 与T ,则S ,S ,S 成等比数列,T ,T ,T 亦成等比数列．
5：数列计算的所有公式、、有关等差数列、等比数列计算的所有公式、最好是从最简单的慢慢升级、、急、、、在线等、、谢大家了、、
知识要点归纳：
等差数列：(1)an-a(n-1)=d (n>1)
(2)2an=a(n+1)+a(n-1) (n>1)
(3)am=an+(m-n)d
(4)Sn=na1+n(n-1)d/2
(5)Sn=(a1+an)n/2
等比数列：(1)an/a(n-1)=q (n>1)
(2)an^2=a(n-1)a(n+1) (n>1)
(3)am=an*q^(m-n)
(4)q等于1时 Sn=na1
q不等于1时 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-qan)/(1-q)
注：a(n-1)为数列的第(n-1)项
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