知识点：《已知数列》 收集：融至峭 编辑：桃花姐
本知识点包括：1、已知数列an中,a1=1 an+1=an/an+3,(n属于N)求数列an... 2、已知数列{an}中,a1=3,前n项和Sn=1/2(n+1)(an+1)-1,... 3、(答完给高分)数学难题:已知数列{an}满足a1=1,|a(n+... 4、已知数列，，，，，。。是吗? 5、已知数列an中，an大于0且Sn=1/2（an+n/an）求数列a... 。
《已知数列》相关知识
Sn=1/2-1/2an
令n=1
则 S1=1/2-1/2 a1
∴ a1=1/2- 1/2a1
∴ a1=1/3
又 2Sn=1-an ①
则 2S(n-1)=1-a(n-1) n≥2 ②
①-②
2an=-an+a(n-1)
∴ 3an=a(n-1)
∴ an/a(n-1)=1/3
∴ {an}是等比数列,首项为1/3,公比为1/3
∴ an=(1/3)*(1/3)^(n-1)
∴ an=(1/3)^n
参考思路：
《国家》
知识拓展：
1：【已知数列An前n项的和Sn,且Sn+1/2An=1,求An的通项】
知识要点归纳：
【分析】此题用到的数列公式是：An=Sn - S 和 S1=A1
另外,本题题目有点不清楚,是表示Sn+(1/2)*An=1,还是表示Sn + 1/(2*An)=1.我姑且按第一种理解Sn+(1/2)*An=1来算,如果我理解错了,你再追问（以后抄题必要处记得加个括号）~
∵Sn + (1/2)*An=1………………………………………………………………①
∴S + (1/2)*A=1…………………………………………………………②
根据公式,An=Sn - S
则① - ②,得
An + (1/2)*An - (1/2)*A=0
化简得,An = (1/3)*A
又由①得,S1 + (1/2)A1 =1,而S1=A1
代入解得,A1 = 2/3
∴An = (1/3)*A = (1/3)²*A
=……= 【(1/3)^(n-1)】*A1
= 【(1/3)^(n-1)】*(2/3)
= 2 ÷ ( 3^n )
2：已知数列{an}的首项a1=3，通项an与前n项和Sn之间满足2an=SnSn-1（n≥2）．（1）求证{1Sn}是等差数列，并求公差；（2）求数列{an}的通项公式．
知识要点归纳：
（1）∵2an=SnSn-1（n≥2）∴2（Sn-Sn-1）=SnSn-1 S S
两边同时除以SnSn-1，得2(
-1
)=11
∴
| 1 |
S n |
| 1 |
S n-1 |
| 1 |
| 2 |
∴{
| 1 |
S n |
| 1 |
| 2 |
（2）∵
| 1 |
S 1 |
| 1 |
a 1 |
| 1 |
| 3 |
∴
| 1 |
S n |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 6 |
| 5-3n |
| 6 |
∴
S
n=| 6 |
| 5-3n |
当n≥2时，
a
n=| 1 |
| 2 |
S
nS
n-1=| 1 |
| 2 |
| 6 |
| 5-3n |
| 6 |
| 8-3n |
| 18 |
| (5-3n)(8-3n) |
∴
a
n=
|
3：已知数列{an}满足a1=1/2,sn=n^2an,求通项an
知识要点归纳：
∵s[n]=n^2a[n]
∴s[n+1]=(n+1)^2a[n+1]
将上述两式相减,得：
a[n+1]=(n+1)^2a[n+1]-n^2a[n]
(n^2+2n)a[n+1]=n^2a[n]
即：a[n+1]/a[n]=n/(n+2)
于是：【由于右边隔行约分,多写几行看得清楚点】
a[n+1]/a[n]=n/(n+2) 【这里保留分母】
a[n]/a[n-1]=(n-1)/(n+1) 【这里保留分母】
a[n-1]/a[n-2]=(n-2)/n
a[n-2]/a[n-3]=(n-3)/(n-1)
.
a[5]/a[4]=4/6
a[4]/a[3]=3/5
a[3]/a[2]=2/4 【这里保留分子】
a[2]/a[1]=1/3 【这里保留分子】
将上述各项左右各自累乘,得：
a[n+1]/a[1]=(1*2)/[(n+1)(n+2)]
∵a[1]=1/2
∴a[n+1]=1/[(n+1)(n+2)]
∴通项a[n]=1/[n(n+1)]
4：【已知数列an的首项a1=3,通项an与前n项和sn之间满足2an=snsn-1(n大于等于2)1求1/sn是等差数列,并求公差2求数列通向公式】
知识要点归纳：
（1）因为 2an=Sn*S(n-1)
所以 2（Sn-S(n-1)）=Sn*S(n-1)
两边同除Sn*S(n-1) 整理的 1/Sn-1/S(n-1)=-1/2 (n>1)
所以 数列{1/Sn}是以1/Sn=1/a1=1/3为首项,公差为-1/2的等差列
（2）由（1）得1/Sn=1/3-1/2*(n-1)=-1/2*n+5/6
所以 Sn=6/(5-3n)
当 n=1时,a1=S1=3
当 n≥2时 an=Sn-S(n-1)
=6/(5-3n)-6/(8-3n)
=18/[(5-3n)*(8-3n)]
经检验 a1不满足 an=18/[(5-3n)*(8-3n)]
3 n=1
所以 an= {
18/[(5-3n)*(8-3n)] n≥2
5：【已知数列{An}的前n项和Sn=2An+1,求证：{An}是等比数列,并求其通项公式.An=Sn-Sn-1=2An-2An所以An=2An所以An为等比数列S1=2A1+1=A1所以A1=-1An=(-1)*2^(n-1)第一步为什么从哪里来的我新手】
知识要点归纳：
Sn=2an+1
S(n-1)=2a(n-1)+1
两式相减得
Sn-S(n-1)=2an+1-2a(n-1)-1
an=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2
所以an是以2为公比的等比数列
a1=S1=2a1+1
a1=-1
an=a1q^(n-1)
=-1*2^(n-1)
=-2^(n-1)
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